Matemática - 8º Ano

Cartões · 52

O que é um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas?

É um conjunto formado por duas ou mais equações com duas incógnitas que devem ser satisfeitas simultaneamente pelos mesmos valores.

O que representa a solução de um sistema de duas equações do 1º grau?

Representa um par ordenado (x, y) que torna ambas as equações simultaneamente verdadeiras.

Qual é a ideia central do Método da Substituição?

Isolar uma das incógnitas em uma das equações e substituir essa expressão na outra equação.

Qual é a ideia central do Método da Adição?

Somar membro a membro as duas equações para que uma das incógnitas seja eliminada por possuir coeficientes opostos.

Método da Substituição: Passo 1

Escolher uma das equações e isolar uma das incógnitas (de preferência a que tiver coeficiente 1 ou -1).

Método da Substituição: Passo 2

Substituir a expressão obtida no lugar dessa mesma incógnita na outra equação.

Método da Substituição: Passo 3

Resolver a equação resultante de uma única incógnita para encontrar o seu valor numérico.

Método da Substituição: Passo 4

Substituir o valor encontrado na expressão isolada no início para determinar o valor da outra incógnita.

Método da Adição: Passo 1

Verificar se uma das incógnitas possui coeficientes opostos (simétricos) nas duas equações.

Método da Adição: O que fazer se os coeficientes não forem opostos?

Multiplicar uma ou ambas as equações por números adequados para que os coeficientes fiquem opostos.

Método da Adição: Passo 2

Somar termo a termo as equações para cancelar a incógnita que tem coeficientes opostos.

Método da Adição: Passo 3

Resolver a equação com uma incógnita que restou após a soma.

Método da Adição: Passo 4

Substituir o valor obtido em qualquer uma das equações originais para achar a outra incógnita.

O que são coeficientes simétricos ou opostos?

São números que possuem o mesmo valor absoluto mas sinais contrários, cuja soma é zero (ex.: +3 e -3).

Quando é mais vantajoso usar o Método da Substituição?

Quando pelo menos uma das incógnitas já tem coeficiente igual a 1 ou -1, facilitando o isolamento.

Quando é mais vantajoso usar o Método da Adição?

Quando os coeficientes de uma das incógnitas já são iguais ou opostos, ou fáceis de igualar por multiplicação.

Como escrever formalmente o conjunto solução de um sistema?

Escreve-se na forma S = {(x, y)}, indicando as coordenadas do par ordenado entre chaves e parênteses.

Na equação x + y = 10, como isolar x?

x = 10 - y.

Na equação 2x - y = 5, como isolar y?

y = 2x - 5.

No sistema {x + y = 7; x - y = 3}, qual método é mais rápido e por quê?

O método da adição, pois somando as duas equações a incógnita y é cancelada diretamente.

Resolva por adição: x + y = 12 e x - y = 4. Qual é o valor de x?

Somando as equações: 2x = 16, logo x = 8.

No sistema {x + y = 12; x - y = 4}, se x = 8, quanto vale y?

Substituindo em x + y = 12: 8 + y = 12, portanto y = 4.

O que significa multiplicar uma equação inteira por -1 no método da adição?

Inverter o sinal de todos os termos da equação sem alterar a igualdade, criando coeficientes opostos.

No sistema {2x + y = 10; x + 3y = 15}, como preparar a 1ª equação para cancelar y por adição?

Multiplicando a 1ª equação inteira por -3, obtendo -6x - 3y = -30.

No sistema {3x + 2y = 16; 5x - 4y = 8}, por quanto multiplicar a 1ª para somar e cancelar y?

Multiplica-se a primeira equação por 2 para obter +4y, que cancela com o -4y da segunda.

O que é um Sistema Possível e Determinado (SPD)?

É um sistema que possui uma única solução, ou seja, exatamente um par ordenado (x, y).

O que é um Sistema Possível e Indeterminado (SPI)?

É um sistema que possui infinitas soluções, pois as equações são equivalentes (retas coincidentes).

O que é um Sistema Impossível (SI)?

É um sistema que não possui nenhuma solução, gerando uma contradição como 0 = 5.

O que ocorre algebricamente ao resolver um Sistema Impossível?

As incógnitas se cancelam e chega-se a uma sentença falsa, por exemplo, 0 = 7.

O que ocorre algebricamente ao resolver um Sistema Possível e Indeterminado?

As incógnitas se cancelam e chega-se a uma identidade verdadeira universal, por exemplo, 0 = 0.

Qual é a interpretação geométrica da solução de um SPD no plano cartesiano?

É o ponto de interseção de duas retas concorrentes.

Qual é a interpretação geométrica de um Sistema Impossível?

Duas retas paralelas distintas que nunca se cruzam.

Qual é a interpretação geométrica de um Sistema Indeterminado?

Duas retas coincidentes que ocupam exatamente a mesma posição no plano cartesiano.

Substituição: Se x = 2y e 3x + y = 14, qual é o valor de y?

3(2y) + y = 14 -> 6y + y = 14 -> 7y = 14 -> y = 2.

Substituição: Se y = 2 e x = 2y, qual é o valor de x?

x = 2 * 2 = 4.

O par ordenado (2, 3) é solução de x + y = 5 e 2x - y = 1?

Sim, pois 2 + 3 = 5 e 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1; satisfaz ambas as equações.

Ao isolar x na equação 3x + 6y = 12, qual é o resultado simplificado?

3x = 12 - 6y -> x = 4 - 2y.

Problema: A soma de dois números é 20 e a diferença é 6. Qual é a equação do problema?

x + y = 20 e x - y = 6.

Problema: O dobro da idade de Ana mais a de Beto é 30. Equacione.

2A + B = 30.

No método da adição, o que deve ser somado?

Os termos em x com termos em x, termos em y com termos em y e termos independentes entre si.

No sistema {4x + 3y = 20; 2x - 3y = 4}, qual incógnita se anula diretamente por adição?

A incógnita y, pois +3y e -3y são simétricos.

Se ao resolver um sistema encontramos 2x = 10, qual é o valor de x?

x = 10 / 2 = 5.

Por que é importante colocar parênteses ao substituir uma incógnita composta?

Para garantir a aplicação correta da propriedade distributiva na multiplicação e com sinais de menos.

Exemplo distributiva: Se y = (3 - x), como fica 2y?

2(3 - x) = 6 - 2x.

Exemplo com sinal: Se y = (5 - x), como fica -y?

-(5 - x) = -5 + x.

Como verificar se a solução encontrada (x, y) está correta?

Substituindo os valores numéricos de x e y em ambas as equações originais para conferir a igualdade.

Resolva: x + y = 9 e x = 2y. Quanto valem x e y?

2y + y = 9 -> 3y = 9 -> y = 3; portanto x = 2(3) = 6. S = {(6, 3)}.

No sistema {x - y = 5; 3x + y = 15}, qual é o valor de x por adição?

Somando as duas equações: 4x = 20 -> x = 5.

No sistema {x - y = 5; 3x + y = 15}, se x = 5, quanto vale y?

5 - y = 5 -> -y = 0 -> y = 0. O par ordenado é (5, 0).

Qual é o objetivo principal de ambos os métodos (adição e substituição)?

Reduzir o sistema de duas equações com duas incógnitas a uma única equação com apenas uma incógnita.

Problema clássico: Em um estacionamento há carros e motos, totalizando 10 veículos e 28 rodas.

Sistema: c + m = 10 e 4c + 2m = 28 (c = carros, m = motos).

No problema dos veículos (c + m = 10 e 4c + 2m = 28), quantos carros há?

Multiplicando a 1ª por -2: -2c - 2m = -20. Somando com a 2ª: 2c = 8 -> c = 4 carros.