Matemática ESA

Cartões · 52

Fórmula de Bhaskara

x = (-b ± √Δ) / (2a), onde Δ = b² - 4ac. Calcula as raízes reais de uma equação do 2º grau se Δ ≥ 0.

Vértice da Parábola

V = (Xv, Yv), onde Xv = -b / (2a) e Yv = -Δ / (4a). Indica o ponto de máximo (a < 0) ou mínimo (a > 0).

Soma e Produto das Raízes (Girard para 2º grau)

S = x1 + x2 = -b/a e P = x1 * x2 = c/a. Permite encontrar raízes por fatoração ou montar a equação x² - Sx + P = 0.

Equação da Reta (Forma Fundamental)

y - y0 = m(x - x0), onde m é o coeficiente angular. Usa-se um ponto (x0, y0) e a inclinação m.

Coeficiente Angular da Reta

m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = tg(θ). Representa a taxa de variação e a inclinação da reta em relação ao eixo x.

Condição de Paralelismo e Perpendicularismo de Retas

Paralelas: m1 = m2. Perpendiculares: m1 * m2 = -1 (ou m1 = -1/m2). Aplica-se às inclinações de duas retas.

Distância entre Dois Pontos no Plano

d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²). Aplicação direta do Teorema de Pitágoras no plano cartesiano.

Distância de Ponto a Reta

d = |a*x0 + b*y0 + c| / √(a² + b²). Calcula a distância mínima do ponto (x0, y0) à reta ax + by + c = 0.

Equação Reduzida da Circunferência

(x - a)² + (y - b)² = R². Onde (a, b) são as coordenadas do centro e R é o raio da circunferência.

Termo Geral da PA

an = a1 + (n - 1)*r. Encontra qualquer termo de uma progressão aritmética somando (n - 1) razões r a a1.

Soma dos Termos de uma PA Finita

Sn = ((a1 + an) * n) / 2. Soma o primeiro e o último termo, multiplica pelo total de termos e divide por 2.

Propriedade da Média na PA

b = (a + c) / 2 para termos consecutivos (a, b, c). O termo central é a média aritmética dos equidistantes.

Termo Geral da PG

an = a1 * q^(n - 1). Encontra o n-ésimo termo multiplicando o primeiro termo pela razão q elevada a (n - 1).

Soma dos Termos de uma PG Finita

Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1), para q ≠ 1. Calcula a soma finita multiplicando a1 pela variação geométrica.

Soma da PG Infinita Convergente

S = a1 / (1 - q), válida estritamente para |q| < 1. Determina o limite da soma infinita de termos decrescentes.

Definição de Logaritmo

log_b(a) = x ⇔ b^x = a, com a > 0, b > 0 e b ≠ 1. Transforma exponenciais em logaritmos e vice-versa.

Propriedades Operatórias dos Logaritmos

log(a*b) = log(a) + log(b); log(a/b) = log(a) - log(b); log(a^n) = n*log(a). Simplificam expressões e equações.

Mudança de Base do Logaritmo

log_b(a) = log_c(a) / log_c(b). Permite reescrever o logaritmo em uma base conveniente c.

Relação Fundamental da Trigonometria

sen²(x) + cos²(x) = 1. Base para deduzir 1 + tg²(x) = sec²(x) e converter funções trigonométricas.

Tangente, Secante e Cossecante

tg(x) = sen(x)/cos(x); sec(x) = 1/cos(x); cossec(x) = 1/sen(x); cotg(x) = cos(x)/sen(x).

Seno e Cosseno da Soma

sen(a ± b) = sen(a)cos(b) ± sen(b)cos(a); cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ∓ sen(a)sen(b).

Arco Duplo (sen(2x) e cos(2x))

sen(2x) = 2*sen(x)*cos(x); cos(2x) = cos²(x) - sen²(x) = 2cos²(x) - 1.

Lei dos Senos

a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) = 2R, onde R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.

Lei dos Cossenos

a² = b² + c² - 2bc*cos(A). Generalização do teorema de Pitágoras para qualquer triângulo plano.

Área do Triângulo (Trigonométrica)

Área = (a * b * sen(C)) / 2. Multiplica dois lados adjacentes pelo seno do ângulo entre eles e divide por 2.

Fórmula de Heron

Área = √(p(p - a)(p - b)(p - c)), onde p = (a + b + c)/2 é o semiperímetro do triângulo.

Área do Triângulo Equilátero e Altura

h = (L√3)/2 e Área = (L²√3)/4, onde L é o comprimento do lado do triângulo equilátero.

Área do Trapézio

Área = ((B + b) * h) / 2. Soma as bases maior e menor, multiplica pela altura perpendicular e divide por 2.

Área e Comprimento do Círculo

Comprimento: C = 2πR. Área: A = πR². Relaciona raio R com o perímetro e a superfície.

Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo

Si = (n - 2) * 180°, onde n é o número de lados. Divide mentalmente o polígono em (n - 2) triângulos.

Número de Diagonais de um Polígono

d = n*(n - 3) / 2. Cada um dos n vértices liga-se a (n - 3) vértices não adjacentes, sem duplicidade.

Relação de Euler para Poliedros Convexos

V - A + F = 2. Vértices menos Arestas mais Faces é igual a 2 para qualquer poliedro convexo.

Volume do Prisma e Cilindro

V = Ab * h. Multiplica a área da base Ab pela altura h perpendicular às bases.

Volume da Pirâmide e Cone

V = (Ab * h) / 3. Multiplica a área da base Ab pela altura h e divide o resultado por 3.

Volume e Área da Esfera

Área = 4πR² e Volume = (4/3)πR³, dependendo unicamente do raio R da esfera.

Permutação Simples

P_n = n! = n * (n - 1) * ... * 1. Maneiras de ordenar n elementos distintos.

Permutação com Repetição

P_n^(a, b, ...) = n! / (a! * b! ...). Divide o total n! pelos fatoriais dos elementos repetidos a, b.

Arranjo Simples

A(n, p) = n! / (n - p)!. Agrupamentos ordenados de p elementos dentre n disponíveis; a ordem importa.

Combinação Simples

C(n, p) = n! / (p! * (n - p)!). Subconjuntos de p elementos dentre n disponíveis; a ordem não importa.

Probabilidade Clássica

P(A) = n(A) / n(Ω). Razão entre o número de casos favoráveis n(A) e o total de casos possíveis n(Ω).

Probabilidade da União de Eventos

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B). Soma as probabilidades individuais e subtrai a intersecção dupla.

Probabilidade Condicional

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B). Probabilidade de ocorrer A sabendo-se previamente que B já ocorreu.

Módulo de um Número Complexo

|z| = ρ = √(a² + b²) para z = a + bi. Distância do ponto (afixo) até a origem no plano de Argand-Gauss.

Forma Trigonométrica de Complexos

z = ρ * (cos(θ) + i * sen(θ)), onde ρ = |z| e θ = arctg(b/a) considerando o quadrante correto.

Primeira Fórmula de De Moivre

z^n = ρ^n * [cos(nθ) + i * sen(nθ)]. Eleva o módulo à potência n e multiplica o argumento θ por n.

Determinante de Matriz de Ordem 2

det(A) = a*d - b*c para matriz 2x2 com linhas (a, b) e (c, d). Produto da diagonal principal menos a secundária.

Regra de Sarrus para Matriz 3x3

Repete as duas primeiras colunas à direita; soma os produtos das diagonais principais e subtrai das secundárias.

Teorema de Binet para Determinantes

det(A * B) = det(A) * det(B). O determinante do produto de matrizes quadradas é o produto dos determinantes.

Teorema do Resto (Polinômios)

O resto da divisão de P(x) por (x - a) é exatamente igual a P(a). Basta substituir x por a em P(x).

Teorema de D'Alembert

P(x) é divisível por (x - a) se, e somente se, a for raiz de P(x), ou seja, P(a) = 0.

Média Aritmética e Ponderada

Simples: Ma = (Σx)/n. Ponderada: Mp = (Σ(x * p)) / (Σp), multiplicando valores pelos pesos e dividindo pela soma dos pesos.

Baricentro de um Triângulo no Plano

G = ((x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3). Coordenadas médias aritméticas dos três vértices do triângulo.