Matemática Fundamental

Cartões · 50

Diferença entre número Racional (Q) e Irracional (I)

1/3 = 0,333... é racional (dízima periódica, vira fração). Já √2 = 1,4142... é irracional (decimal infinito sem período, não vira fração de inteiros).

Transformação de dízima periódica simples em fração

Para converter 0,777... em fração: chame de x; 10x = 7,777...; subtraia x (10x - x = 7); logo 9x = 7, resultando em x = 7/9.

Transformação de dízima periódica composta em fração

Para 0,1222...: 10x = 1,222... e 100x = 12,222... Subtraindo as duas equações: 90x = 11, logo x = 11/90.

Racionalização de denominadores com raiz quadrada simples

Para simplificar 3/√5: multiplique numerador e denominador por √5. Obtém-se (3 * √5) / (√5 * √5) = (3√5)/5.

Racionalização de denominador com binômio (conjugado)

Para 2/(√3 + 1): multiplique pelo conjugado (√3 - 1). Numerador: 2(√3 - 1). Denominador: (√3)² - 1² = 3 - 1 = 2. O resultado simplificado é √3 - 1.

Propriedade da potenciação com expoente negativo

Para calcular (2/3)⁻²: inverta a fração e troque o sinal do expoente. Fica (3/2)² = 9/4.

Propriedade da potenciação com expoente fracionário

Para calcular 8^(2/3): transforme em radical ∛(8²). Como ∛8 = 2, temos 2² = 4.

Notação científica com expoente positivo

Escrever 450.000 em notação: desloque a vírgula 5 casas para a esquerda até ficar entre 1 e 10. Fica 4,5 x 10⁵.

Notação científica com expoente negativo

Escrever 0,00032 em notação: mova a vírgula 4 casas para a direita até atingir 3,2. O resultado é 3,2 x 10⁻⁴.

Operação com notação científica (multiplicação)

(2 x 10³) * (4 x 10⁵): multiplique os coeficientes (2 * 4 = 8) e some os expoentes (3 + 5 = 8). Resultado: 8 x 10⁸.

Módulo ou valor absoluto de um número real

|-7| = 7 e |7| = 7. Em equações: se |x - 3| = 5, então x - 3 = 5 (x = 8) ou x - 3 = -5 (x = -2).

Identificação dos coeficientes a, b e c na equação quadrática

Na equação 3x² - 5x + 2 = 0: a = 3 (termo quadrático), b = -5 (termo linear) e c = 2 (termo independente).

Cálculo do discriminante (Delta) e interpretação das raízes

Em x² - 4x + 4 = 0: Δ = (-4)² - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0. Como Δ = 0, a equação possui uma única raiz real dupla (x = 2).

Delta negativo na equação do 2º grau

Em x² + 2x + 5 = 0: Δ = 2² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16. Como Δ < 0, a equação não possui raízes reais.

Fórmula de Bhaskara passo a passo

Resolver x² - 5x + 6 = 0: Δ = 25 - 24 = 1. x = [-(-5) ± √1] / (2*1) = (5 ± 1) / 2. Raízes: x1 = 3 e x2 = 2.

Equação do 2º grau incompleta com b = 0

Resolver 2x² - 18 = 0: isole x² fazendo 2x² = 18 -> x² = 9. Extraia a raiz quadrada: x = ±√9, logo x = 3 ou x = -3.

Equação do 2º grau incompleta com c = 0

Resolver 3x² - 12x = 0: coloque x em evidência -> x(3x - 12) = 0. Uma solução é x = 0; a outra é 3x - 12 = 0 -> x = 4.

Método de Soma e Produto (relação de Girard)

Para x² - 7x + 10 = 0: Soma = -b/a = 7; Produto = c/a = 10. Dois números cuja soma é 7 e produto é 10 são 2 e 5. Raízes: 2 e 5.

Fatoração de trinômio do 2º grau

Sabendo que x² - 5x + 6 = 0 tem raízes 2 e 3, a forma fatorada a(x - x1)(x - x2) é dada por 1(x - 2)(x - 3).

Coordenada X do vértice de uma parábola (Xv)

Para f(x) = -x² + 4x + 1: Xv = -b / (2a) = -4 / (2 * -1) = 2. Indica o ponto de máximo onde x = 2.

Coordenada Y do vértice de uma parábola (Yv)

Para f(x) = x² - 6x + 5: calcule f(Xv). Como Xv = 3, Yv = 3² - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4. O valor mínimo da função é -4.

Problema de otimização (área máxima retangular)

Cercar área retangular com 40m de muro: perímetro 2x + 2y = 40 -> y = 20 - x. Área: A(x) = x(20 - x) = -x² + 20x. Xv = -20/-2 = 10m. Área máxima: 10*10 = 100m².

Problema de projétil (tempo para atingir altura máxima)

Altura h(t) = -5t² + 20t: o tempo para altura máxima é Xv = -20 / (2 * -5) = 2 segundos.

Problema de projétil (tempo total no ar)

Altura h(t) = -5t² + 20t: toca o solo quando h(t) = 0. -5t(t - 4) = 0. Raízes t = 0 (lançamento) e t = 4s (queda). Tempo no ar: 4 segundos.

Equação biquadrada resolvida por substituição

Resolver x⁴ - 5x² + 4 = 0: substitua y = x² -> y² - 5y + 4 = 0. Raízes y = 1 e y = 4. Voltando a x: x = ±√1 = ±1 e x = ±√4 = ±2. Quatro raízes.

Equação irracional redutível ao 2º grau

√(x + 3) = x - 3: eleve ao quadrado -> x + 3 = x² - 6x + 9 -> x² - 7x + 6 = 0 (raízes 6 e 1). Testando: √(6+3)=3 (válido); √(1+3)≠-2 (falso). Resposta: x = 6.

Estudo do sinal da função do 2º grau

Para f(x) = x² - 4: raízes -2 e 2, parábola com concavidade para cima (a > 0). Positiva para x < -2 ou x > 2; negativa para -2 < x < 2.

Inequação do 2º grau

Resolver x² - 3x - 4 ≤ 0: raízes 4 e -1. Como a > 0, o intervalo entre as raízes é negativo. Solução: [-1, 4].

Conceito e cálculo de Razão

Em uma sala com 15 homens e 20 mulheres, a razão entre homens e mulheres é 15/20 = 3/4 (para cada 3 homens há 4 mulheres).

Propriedade fundamental das proporções

Em a/b = c/d, o produto dos extremos é igual ao dos meios: a * d = b * c. Exemplo: se 3/4 = x/12, então 4x = 36 -> x = 9.

Grandezas Diretamente Proporcionais (regra do quociente)

Se 3 cadernos custam R$ 15, quanto custam 7 cadernos? Como aumentam juntos, 3/15 = 7/x -> 3x = 105 -> x = R$ 35.

Grandezas Inversamente Proporcionais (regra do produto)

A 60 km/h uma viagem dura 4h. A 80 km/h durará quanto? O produto é constante: 60 * 4 = 80 * t -> 240 = 80t -> t = 3 horas.

Regra de três simples direta: cálculo de consumo

Um carro gasta 8L para rodar 100km. Quantos litros gastará para rodar 250km? 8/100 = x/250 -> 100x = 2000 -> x = 20 litros.

Regra de três simples inversa: operários e tempo

4 pedreiros constroem um muro em 6 dias. Quantos dias levarão 8 pedreiros? Inversa: 4 * 6 = 8 * x -> 24 = 8x -> x = 3 dias.

Regra de três composta: operários, horas e dias

6 operários trabalhando 8h/dia fazem uma obra em 10 dias. Quantos dias levarão 8 operários em 6h/dia? (6/8) * (8/6) * (10/x) = 1 -> 1 * 10/x = 1 -> x = 10 dias.

Regra de três composta: produção de peças

5 máquinas produzem 200 peças em 4 dias. Quantas peças 8 máquinas produzem em 6 dias? Peças é direta com ambas: 200/x = (5/8) * (4/6) -> 200/x = 20/48 -> x = 480 peças.

Divisão em partes diretamente proporcionais

Dividir R$ 120 entre A e B na razão 2 para 3: soma das partes = 2 + 3 = 5. Valor por parte = 120 / 5 = 24. A recebe 2 * 24 = R$ 48; B recebe 3 * 24 = R$ 72.

Divisão em partes inversamente proporcionais

Dividir 90 inversamente a 2 e 3: use os inversos 1/2 e 1/3. Mmc(2,3) = 6. Proporções equivalentes: 3 e 2. Soma = 5. Parte = 90 / 5 = 18. Valores: 3 * 18 = 54 e 2 * 18 = 36.

Escala cartográfica numérica

Em um mapa de escala 1:50.000, 4 cm representam qual distância real? Distância = 4 cm * 50.000 = 200.000 cm = 2.000 m = 2 km.

Cálculo de Porcentagem por fator multiplicador de aumento

Aumentar um produto de R$ 80 em 15%: multiplique por (1 + 0,15) = 1,15. Preço final = 80 * 1,15 = R$ 92.

Cálculo de Porcentagem por fator multiplicador de desconto

Desconto de 20% em item de R$ 150: multiplique por (1 - 0,20) = 0,80. Preço final = 150 * 0,80 = R$ 120.

Aumentos percentuais sucessivos

Dois aumentos sucessivos de 10%: fator = 1,10 * 1,10 = 1,21. O aumento acumulado total não é 20%, mas sim 21%.

Aumento seguido de desconto de mesma porcentagem

Aumentar 10% e depois reduzir 10%: fator = 1,10 * 0,90 = 0,99. Há uma perda global de 1% (1 - 0,99 = 0,01).

Juros Simples: cálculo do montante

Investir R$ 1.000 a 2% ao mês por 5 meses: J = C * i * t = 1000 * 0,02 * 5 = R$ 100. Montante = 1000 + 100 = R$ 1.100.

Densidade demográfica como razão proporcional

Uma cidade possui 300.000 habitantes e área de 1.500 km². Densidade = habitantes / área = 300.000 / 1.500 = 200 hab/km².

Velocidade média como grandeza proporcional

Um ciclista percorre 45 km em 1h30min (1,5h). Velocidade média = distância / tempo = 45 / 1,5 = 30 km/h.

Propriedade dos intervalos reais: União e Interseção

Se A = [1, 5] e B = [3, 8]: A ∩ B = [3, 5] (elementos comuns) e A ∪ B = [1, 8] (todos os elementos reunidos).

Problema de torneiras (trabalho conjunto com vazões)

Torneira A enche em 2h (vazão 1/2 por h), torneira B em 3h (1/3 por h). Juntas: 1/2 + 1/3 = 5/6 tanque/h. Tempo total para encher: 1 / (5/6) = 6/5 h = 1h12min.

Variação percentual entre dois valores

Um produto passou de R$ 50 para R$ 65. Variação percentual: (Valor final - Inicial) / Inicial = (65 - 50)/50 = 15/50 = 0,30 = +30%.

Conversão de unidades com proporção (km/h para m/s)

Converter 72 km/h para m/s: 1 m/s equivale a 3,6 km/h. Logo, divida por 3,6: 72 / 3,6 = 20 m/s.