Matemática FUVEST e Enem

Cartões · 50

Fórmula de Bhaskara

x = (-b ± raiz(delta)) / (2a), onde delta = b^2 - 4ac. Usada para raízes de equações de 2º grau (ax^2 + bx + c = 0) com a diferente de 0.

Coordenadas do vértice da parábola

Xv = -b / (2a) e Yv = -delta / (4a). Indicam o ponto de máximo (se a < 0) ou de mínimo (se a > 0) de uma função quadrática.

Relações de Girard para 2º grau

Soma: S = x1 + x2 = -b/a. Produto: P = x1 * x2 = c/a. Válidas para ax^2 + bx + c = 0 com a diferente de 0.

Termo geral da PA

an = a1 + (n - 1) * r. Utilizada para encontrar o enésimo termo de uma progressão aritmética de razão r.

Soma dos termos de uma PA finita

Sn = (a1 + an) * n / 2. Aplica-se para somar os n primeiros termos de qualquer PA.

Termo geral da PG

an = a1 * q^(n - 1). Encontra o enésimo termo de uma progressão geométrica de razão q.

Soma dos termos de uma PG finita

Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1), válida para q diferente de 1.

Soma dos termos de uma PG infinita

S = a1 / (1 - q). Aplicável somente se -1 < q < 1 e q diferente de 0.

Definição de logaritmo

log_b(a) = x equivale a b^x = a. Condições de existência: a > 0 (logaritmando), b > 0 e b diferente de 1 (base).

Propriedades operatórias dos logaritmos

log(a * c) = log(a) + log(c); log(a / c) = log(a) - log(c); log(a^k) = k * log(a). Mesma base e termos positivos.

Mudança de base de logaritmo

log_b(a) = log_c(a) / log_c(b). Útil para simplificar cálculos com bases distintas, respeitando as condições de existência.

Fórmula dos juros simples

J = C * i * t e M = C + J. i e t devem estar na mesma unidade de tempo; a taxa incide sempre sobre o capital inicial.

Fórmula dos juros compostos

M = C * (1 + i)^t. Os juros incidem sobre o montante acumulado; i e t devem estar na mesma unidade de tempo.

Relação Fundamental da Trigonometria

sen^2(x) + cos^2(x) = 1. Válida para qualquer número real x.

Lei dos Senos

a / sen(A) = b / sen(B) = c / sen(C) = 2R, em que R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.

Lei dos Cossenos

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cos(A). Usada para calcular um lado oposto a um ângulo conhecido ou o ângulo a partir dos lados.

Seno e Cosseno da soma de arcos

sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a); cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b).

Área do triângulo (base e altura)

A = (b * h) / 2. Aplica-se a qualquer triângulo conhecendo-se uma base e a altura correspondente.

Área do triângulo equilátero

A = (l^2 * raiz(3)) / 4, com l sendo a medida do lado. Altura: h = (l * raiz(3)) / 2.

Área do triângulo por dois lados e o ângulo

A = (a * b * sen(alfa)) / 2, em que alfa é o ângulo formado entre os lados a e b.

Fórmula de Heron (área do triângulo)

A = raiz(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), onde p = (a + b + c) / 2 é o semiperímetro do triângulo.

Área do trapézio

A = (B + b) * h / 2, sendo B a base maior, b a base menor e h a distância perpendicular entre as bases paralelas.

Área e perímetro do círculo

Área: A = pi * r^2. Comprimento da circunferência: C = 2 * pi * r, onde r é o raio do círculo.

Área do setor circular

A = (alfa * pi * r^2) / 360 se alfa em graus, ou A = (alfa * r^2) / 2 se alfa em radianos.

Teorema de Pitágoras

a^2 = b^2 + c^2. Válido exclusivamente em triângulos retângulos, com a sendo a hipotenusa e b, c os catetos.

Relações métricas no triângulo retângulo

b^2 = a * m; c^2 = a * n; h^2 = m * n; a * h = b * c, sendo a hipotenusa, h a altura e m, n as projeções dos catetos.

Soma dos ângulos internos de um polígono

Si = (n - 2) * 180 graus, onde n é o número de lados do polígono (n >= 3).

Número de diagonais de um polígono convexo

d = n * (n - 3) / 2, onde n representa a quantidade de vértices ou lados (n >= 3).

Relação de Euler para poliedros convexos

V - A + F = 2, em que V é o número de vértices, A de arestas e F de faces.

Volume e área total do cilindro reto

Volume: V = pi * r^2 * h. Área total: At = 2 * pi * r * (r + h), com r sendo o raio da base e h a altura.

Volume e área total do cone reto

Volume: V = (pi * r^2 * h) / 3. Geratriz: g^2 = h^2 + r^2. Área lateral: Al = pi * r * g.

Volume e área da superfície esférica

Volume: V = (4/3) * pi * r^3. Área: A = 4 * pi * r^2, sendo r o raio da esfera.

Volume de prismas e pirâmides

Prisma: V = Ab * h. Pirâmide: V = (Ab * h) / 3, em que Ab é a área da base e h é a altura.

Distância entre dois pontos no plano

d = raiz((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2). Derivação direta do Teorema de Pitágoras no plano cartesiano.

Ponto médio de um segmento

M = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2). Coordenadas médias dos extremos do segmento.

Equação fundamental da reta

y - y0 = m * (x - x0), onde m é o coeficiente angular e (x0, y0) é um ponto pertencente à reta.

Condição de perpendicularismo entre retas

m1 * m2 = -1 (ou m1 = -1/m2). Aplica-se a retas não paralelas aos eixos cartesianos.

Distância de ponto à reta

d = |a*x0 + b*y0 + c| / raiz(a^2 + b^2). Ponto P(x0, y0) e reta r: ax + by + c = 0.

Equação reduzida da circunferência

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, com centro em C(a, b) e raio r > 0.

Princípio Fundamental da Contagem (PFC)

Se uma decisão pode ser tomada de m modos e outra de n modos, ambas ocorrem em m * n modos independentes.

Permutação simples e com repetição

Simples: Pn = n!. Com repetição: Pn^(a,b,...) = n! / (a! * b! * ...), eliminando permutações de elementos idênticos.

Arranjo simples vs Combinação simples

Arranjo (ordem importa): A(n,p) = n! / (n-p)!. Combinação (ordem não importa): C(n,p) = n! / [p! * (n-p)!].

Probabilidade teórica de Laplace

P(E) = n(E) / n(S), isto é, número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis em espaço equiprovável.

Probabilidade da união de eventos

P(A união B) = P(A) + P(B) - P(A inter B). Se forem mutuamente exclusivos, P(A inter B) = 0.

Probabilidade condicional

P(A|B) = P(A inter B) / P(B), representando a chance de A ocorrer dado que B já ocorreu (com P(B) > 0).

Média aritmética e ponderada

Simples: soma dos valores dividida por n. Ponderada: soma dos produtos (valor * peso) dividida pela soma dos pesos.

Mediana em dados estatísticos

Valor central após ordenar o rol. Se n for ímpar, é o termo central; se n for par, é a média aritmética dos dois termos centrais.

Moda e Desvio Padrão

Moda: valor mais frequente. Desvio padrão: raiz quadrada da variância; mede a dispersão dos dados em torno da média.

Semelhança de triângulos e razão de áreas

Se a razão linear é k, a razão entre perímetros é k, entre áreas é k^2 e entre volumes é k^3.

Escala cartográfica

E = d / D, onde d é a medida no mapa e D é a medida real, obrigatoriamente na mesma unidade de comprimento.