Matemática: Matrizes

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Definição de Matriz

Tabela retangular de números dispostos em m linhas e n colunas, denotada por A = [a_ij] de ordem m x n.

Elemento genérico a_ij

Representa o elemento localizado exatamente na i-ésima linha e na j-ésima coluna da matriz.

Matriz Linha

Matriz que possui apenas uma única linha (ordem 1 x n), representada genericamente como [a_11, a_12, ..., a_1n].

Matriz Coluna

Matriz formada por uma única coluna (ordem m x 1), com elementos verticais a_11 até a_m1.

Matriz Quadrada

Matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas (m = n), dita de ordem n.

Diagonal Principal

Conjunto dos elementos a_ij de uma matriz quadrada em que o índice da linha é igual ao da coluna (i = j).

Diagonal Secundária

Elementos a_ij de uma matriz quadrada de ordem n que satisfazem a condição de índices i + j = n + 1.

Traço de uma Matriz (tr)

Soma de todos os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada: tr(A) = soma de a_ii para i de 1 a n.

Matriz Nula

Matriz de qualquer ordem m x n cujos elementos são todos iguais a zero, denotada genericamente por 0.

Matriz Identidade (I_n)

Matriz quadrada onde a_ij = 1 se i = j, e a_ij = 0 se i != j; atua como elemento neutro da multiplicação.

Matriz Diagonal

Matriz quadrada cujos elementos fora da diagonal principal são estritamente nulos (a_ij = 0 para todo i != j).

Matriz Escalar

Matriz diagonal onde todos os elementos da diagonal principal são iguais entre si (a_ii = k).

Matriz Triangular Superior

Matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos (a_ij = 0 quando i > j).

Matriz Triangular Inferior

Matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal principal são nulos (a_ij = 0 quando i < j).

Igualdade de Matrizes

Duas matrizes A e B de mesma ordem são iguais se, e somente se, a_ij = b_ij para todo par de índices (i, j).

Adição de Matrizes

Operação definida para matrizes de mesma ordem: C = A + B tal que c_ij = a_ij + b_ij para todos os índices.

Propriedade Comutativa da Adição

A ordem das parcelas não altera a soma: A + B = B + A para matrizes de mesma dimensão.

Propriedade Associativa da Adição

O agrupamento das matrizes não altera o resultado final: (A + B) + C = A + (B + C).

Elemento Neutro da Adição

A matriz nula 0 satisfaz A + 0 = A para qualquer matriz A de dimensão compatível.

Matriz Oposta (-A)

Matriz obtida invertendo o sinal de cada elemento: (-A)_ij = -a_ij, de forma que A + (-A) = 0.

Multiplicação por Escalar

Produto de escalar k por matriz A: cada elemento é multiplicado por k, ou seja, (k*A)_ij = k * a_ij.

Condição para Multiplicação de Matrizes

O produto A * B só é possível se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.

Fórmula do Produto Matricial

Se C = A * B, o termo c_ij é dado pelo somatório de k=1 até p de (a_ik * b_kj).

Não Comutatividade da Multiplicação

Em geral, o produto matricial não é comutativo: A * B != B * A, mesmo que ambos os produtos existam.

Propriedade Associativa da Multiplicação

Para matrizes com dimensões compatíveis, vale a relação de agrupamento: (A * B) * C = A * (B * C).

Propriedade Distributiva da Multiplicação

A multiplicação distribui sobre a soma: A*(B + C) = A*B + A*C e (A + B)*C = A*C + B*C.

Matriz Transposta (A^T)

Matriz obtida trocando ordenadamente linhas por colunas: se A é m x n, A^T é n x m e (A^T)_ij = a_ji.

Transposta da Transposta

A transposição aplicada duas vezes restaura a matriz original: (A^T)^T = A.

Transposta da Soma

A transposta da soma é igual à soma das transpostas: (A + B)^T = A^T + B^T.

Transposta do Produto

A transposta inverte a ordem dos fatores na multiplicação: (A * B)^T = B^T * A^T.

Transposta do Produto por Escalar

O escalar pode ser fatorado diretamente fora da transposição: (k * A)^T = k * (A^T).

Matriz Simétrica

Matriz quadrada igual à sua própria transposta: A^T = A, implicando que a_ij = a_ji para todos i e j.

Matriz Antissimétrica

Matriz quadrada tal que A^T = -A; seus elementos atendem a_ij = -a_ji e a diagonal principal é nula.

Determinante de Ordem 1

Para uma matriz unitária A = [a_11], o determinante é o próprio valor do elemento: det(A) = a_11.

Determinante de Ordem 2

Para matriz 2x2 com linhas [a, b] e [c, d], o cálculo é det(A) = a*d - b*c.

Regra de Sarrus

Método para det de matrizes 3x3 somando produtos das 3 diagonais direitas e subtraindo as 3 esquerdas.

Menor Complementar (M_ij)

Determinante da submatriz obtida ao eliminar a i-ésima linha e a j-ésima coluna da matriz quadrada.

Cofator (C_ij)

Valor dado pela fórmula C_ij = (-1)^(i+j) * M_ij, onde M_ij é o menor complementar correspondente.

Teorema de Laplace

O det de matriz n x n é a soma dos produtos dos elementos de qualquer fila pelos seus respectivos cofatores.

Propriedade: Determinante com Fila Nula

Se uma matriz quadrada possuir uma linha ou coluna inteiramente composta por zeros, seu det é zero.

Propriedade: Filas Iguais ou Proporcionais

Se uma matriz quadrada tem duas linhas ou colunas iguais ou linearmente dependentes, det(A) = 0.

Determinante da Matriz Transposta

A transposição não altera o determinante de uma matriz quadrada: det(A^T) = det(A).

Teorema de Binet

O determinante do produto de matrizes quadradas é o produto dos seus determinantes: det(A * B) = det(A)*det(B).

Determinante com Multiplicação por Escalar

Multiplicar matriz quadrada n x n por escalar k multiplica o det por k elevado a n: det(k*A) = k^n * det(A).

Determinante de Matriz Triangular

O determinante de matriz triangular é dado simplesmente pelo produto de todos os termos da diagonal principal.

Matriz Invertível (Não Singular)

Matriz quadrada A para a qual existe matriz B tal que A * B = B * A = I; ocorre se e somente se det(A) != 0.

Matriz Singular

Matriz quadrada que não admite inversa, caracterizada fundamentalmente por ter determinante nulo (det = 0).

Matriz Adjunta Clássica (adj(A))

Transposta da matriz dos cofatores de A: adj(A) = (Cof(A))^T, usada no cálculo analítico da inversa.

Fórmula da Inversa via Adjunta

A inversa de A é calculada por A^(-1) = (1 / det(A)) * adj(A), válida sempre que det(A) != 0.

Inversa do Produto de Matrizes

A inversa do produto inverte a ordem dos fatores na multiplicação: (A * B)^(-1) = B^(-1) * A^(-1).

Determinante da Matriz Inversa

O determinante da inversa é o inverso multiplicativo do det original: det(A^(-1)) = 1 / det(A).

Matriz Ortogonal

Matriz quadrada cuja transposta coincide com sua inversa: A^T = A^(-1), logo A^T * A = I e det(A) = +-1.

Matriz Idempotente

Matriz quadrada que multiplicada por si mesma resulta nela própria: A^2 = A * A = A.

Matriz Nilpotente

Matriz quadrada para a qual existe um número inteiro positivo k tal que a potência A^k = 0.

Posto de uma Matriz (Rank)

Número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes, equivalente à ordem da maior submatriz com det != 0.