Matemática: Polinômios, Médias e Proporções

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Como identificar o grau de um polinômio P(x)?

Procure o maior expoente de x cujo coeficiente seja diferente de zero. Se todos os coeficientes forem nulos, o polinômio é nulo e não tem grau definido.

Identidade de polinômios: P(x) identicamente nulo

A questão diz que P(x) = 0 para todo x. Iguale todos os coeficientes de cada termo em x a zero individualmente.

Identidade entre dois polinômios: P(x) ≡ Q(x)

Identifique potências iguais de x e iguale os seus respectivos coeficientes termo a termo para montar um sistema de equações.

Fórmula da soma das raízes em grau 2 (Girard)

Para ax² + bx + c = 0, a soma S = x1 + x2 = -b/a. Use quando o problema pedir a soma sem exigir os valores individuais das raízes.

Fórmula do produto das raízes em grau 2 (Girard)

Para ax² + bx + c = 0, o produto P = x1 * x2 = c/a. Útil em questões sobre raízes inversas, onde o produto vale 1.

Fórmula da soma das raízes em grau 3 (Girard)

Para ax³ + bx² + cx + d = 0, x1 + x2 + x3 = -b/a. Procure menção a raízes em progressão aritmética (PA).

Soma dos produtos 2 a 2 em grau 3 (Girard)

Em ax³ + bx² + cx + d = 0, x1*x2 + x1*x3 + x2*x3 = c/a.

Produto das três raízes em grau 3 (Girard)

Em ax³ + bx² + cx + d = 0, x1 * x2 * x3 = -d/a. Procure menção a raízes em progressão geométrica (PG).

Teorema do Resto: resto da divisão por (x - a)

O resto da divisão de P(x) por (x - a) é exatamente o valor numérico P(a). Calcule P(a) sem armar a divisão longa.

Teorema de D'Alembert (divisibilidade de polinômios)

O enunciado diz que P(x) é divisível por (x - a). Conclusão imediata: P(a) = 0, o que significa que 'a' é raiz de P(x).

Divisão por binômio do tipo (x - a): método rápido

Use o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini. Posicione a raiz 'a' à esquerda e os coeficientes do polinômio ordenados à direita.

Raízes complexas não reais em polinômios reais

Se os coeficientes forem reais e (u + vi) for raiz, o conjugado (u - vi) também é raiz obrigatoriamente.

Soma de todos os coeficientes de P(x)

Substitua x = 1 na expressão de P(x). A soma dos coeficientes é sempre dada por P(1).

Termo independente de x em P(x)

Substitua x = 0 na expressão de P(x). O termo independente é exatamente o valor numérico P(0).

Teorema Fundamental da Álgebra

Todo polinômio de grau n com n ≥ 1 possui exatamente n raízes no conjunto dos números complexos (contando multiplicidades).

Raízes racionais possíveis em P(x)

Teste frações p/q onde p divide o termo independente e q divide o coeficiente líder (Teorema das Raízes Racionais).

Multiplicidade de uma raiz

Se 'r' tem multiplicidade m, P(x) fatora como (x - r)^m * Q(x) com Q(r) ≠ 0. Além disso, anula até a derivada de ordem m-1 em r.

Média Aritmética Simples: identificação

Problema envolve soma de grandezas equivalentes com mesmo peso. Fórmula: M = (x1 + x2 + ... + xn) / n.

Média Aritmética Ponderada: identificação

Ocorre quando itens têm importâncias, pesos, notas ou frequências diferentes. Fórmula: Mp = (x1*p1 + ... + xn*pn) / (p1 + ... + pn).

Média Harmônica: identificação em problemas

Usada tipicamente para grandezas inversamente proporcionais, como velocidade média em percursos de mesma distância: Mh = n / (1/x1 + ... + 1/xn).

Média Harmônica para dois valores a e b

Fórmula simplificada: Mh = 2*a*b / (a + b). Muito frequente em problemas de ida e volta com velocidades diferentes em mesma distância.

Média Geométrica: identificação e fórmula

Usada para taxas de crescimento sucessivo, juros compostos acumulados ou fatores multiplicativos. Mg = raiz n-ésima do produto (x1 * x2 * ... * xn).

Desigualdade clássica das médias (valores positivos)

Para números reais positivos não negativos: Mh ≤ Mg ≤ Ma. A igualdade ocorre apenas se todos os números forem iguais.

Problema de velocidade média em percursos iguais

Não use média aritmética das velocidades. Use a média harmônica das velocidades porque a distância é constante.

Problema de velocidade média em tempos iguais

Se o veículo andou o mesmo intervalo de tempo em cada trecho, use a média aritmética simples das velocidades.

Média aritmética com novo elemento adicionado

Trabalhe com a soma total: Nova Média = (Soma Antiga + Novo Valor) / (n + 1). Isole a soma antiga multiplicando média por n.

Grandezas Diretamente Proporcionais (GDP)

Identificação: quando uma dobra, a outra dobra. A razão y/x é constante (k). No gráfico cartesiano, gera reta passando pela origem.

Grandezas Inversamente Proporcionais (GIP)

Identificação: quando uma dobra, a outra cai pela metade. O produto x*y é constante (k). No gráfico cartesiano, gera uma hipérbole equilátera.

Divisão em partes diretamente proporcionais a a, b e c

Escreva x/a = y/b = z/c = k. Cada parte vale x = a*k, y = b*k, z = c*k. Some as equações e iguale ao total para achar k.

Divisão em partes inversamente proporcionais a a, b e c

Transforme em partes diretamente proporcionais aos inversos: x / (1/a) = y / (1/b) = z / (1/c) = k.

Propriedade fundamental das proporções

Em a/b = c/d, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios: a * d = b * c (b ≠ 0, d ≠ 0).

Soma de antecedentes e consequentes

Se a/b = c/d = k, então (a + c) / (b + d) = k. Aplique quando o enunciado fornece a soma dos numeradores ou denominadores.

Escala gráfica ou numérica em mapas/plantas

Escala E = comprimento no desenho / comprimento real (na mesma unidade de medida). Relação linear direta de proporção.

Escala de área (superfície)

A razão entre áreas é o quadrado da escala linear: Área_desenho / Área_real = E². Cuidado com conversão de unidades (cm² para m²).

Escala de volume (capacidade)

A razão entre volumes é o cubo da escala linear: Vol_modelo / Vol_real = E³. Cuidado com conversão de cm³ para litros ou m³.

Regra de três simples: teste de proporcionalidade

Fixe uma grandeza e pergunte: se a primeira aumenta, a outra aumenta (GDP, multiplica cruzado) ou diminui (GIP, multiplica reto)?

Regra de três composta: método da coluna de referência

Isole a grandeza incógnita e compare individualmente cada uma das demais grandezas com ela, marcando se são diretas ou inversas.

Regra de três composta: método Processo vs Produto

Identifique o 'produto/resultado' (obra, peças, área construída) e iguale: (agentes * tempo * eficiência) / produto = constante.

Problema de torneiras e ralos (vazão)

Trabalhe por unidade de tempo (hora ou minuto): Vazão conjunta = 1/T1 + 1/T2 - 1/T_ralo = 1/T_total. Trata-se de média harmônica disfarçada.

Fator de proporcionalidade k

Quando a questão disser 'x varia conjuntamente com y e inversamente com z', escreva a equação analítica imediata: x = k * y / z.

Polinômios: raiz dupla graficamente

No gráfico da função polinomial, se uma raiz real tem multiplicidade par (ex: dobro), a curva tangencia o eixo x sem cruzá-lo.

Polinômios: raiz simples ou multiplicidade ímpar graficamente

No gráfico de P(x), a curva cruza o eixo x transversalmente no ponto da raiz.

Determinar resto sem dividir: divisor de grau 2

Se o divisor for D(x) = (x - a)(x - b), assuma resto linear R(x) = mx + n. Monte o sistema P(a) = ma + n e P(b) = mb + n.

Média de médias aritméticas de grupos desiguais

Nunca faça a média simples das médias. Use média ponderada onde os pesos são os tamanhos (n) de cada grupo: (n1*M1 + n2*M2) / (n1 + n2).

Desvio em relação à média aritmética

A soma algébrica dos desvios de todos os valores em relação à sua média aritmética é rigorosamente igual a zero: Σ (xi - M) = 0.

Adição de constante c a todos os valores na média

Se cada observação xi receber um acréscimo de c, a nova média aritmética será a média original acrescida de c: M_novo = M_antigo + c.

Multiplicação de constante c a todos os valores na média

Se todos os valores xi forem multiplicados por uma constante c, a nova média aritmética será multiplicada por c: M_novo = c * M_antigo.

Constante de proporcionalidade em gráficos GDP vs GIP

Na GDP, k é o coeficiente angular da reta y = kx. Na GIP, k é a área do retângulo formado por qualquer ponto (x, y) sob a hipérbole xy = k.

Grau do produto de dois polinômios

Se grau(P) = m e grau(Q) = n, então grau(P * Q) = m + n. Use para prever o comportamento de funções fatoradas em testes.

Grau da soma de dois polinômios

Se grau(P) = m e grau(Q) = n (m ≠ n), grau(P + Q) = máx(m, n). Se m = n, o grau pode ser menor ou igual a m devido ao cancelamento de termos.