Matemática: Progressões e Combinatória

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Progressão Aritmética (PA): Definição

Sequência numérica em que a diferença entre qualquer termo (a partir do segundo) e seu antecessor é constante, chamada de razão r.

PA: Fórmula do termo geral

an = a1 + (n - 1) * r. Usada para encontrar o n-ésimo termo conhecendo o primeiro termo a1 e a razão r.

PA: Relação entre dois termos quaisquer

an = ak + (n - k) * r. Permite calcular qualquer termo an a partir de um termo intermediário ak sem precisar de a1.

PA: Classificação por razão

Crescente se r > 0; Decrescente se r < 0; Constante se r = 0.

PA: Propriedade dos três termos consecutivos

Em uma sequência (a, b, c), o termo do meio é a média aritmética dos extremos: b = (a + c) / 2.

PA: Soma dos n primeiros termos (Sn)

Sn = n * (a1 + an) / 2. Aplica-se para somar termos consecutivos conhecendo os extremos a1 e an.

PA: Notação especial para 3 termos

Escreve-se (x - r, x, x + r). Facilita a resolução de problemas quando a soma dos três termos é fornecida.

Progressão Geométrica (PG): Definição

Sequência numérica onde o quociente entre cada termo (a partir do segundo) e o anterior é constante, chamada de razão q.

PG: Fórmula do termo geral

an = a1 * q^(n - 1). Válida para encontrar o n-ésimo termo com base no termo inicial a1 e na razão q.

PG: Relação entre dois termos quaisquer

an = ak * q^(n - k). Permite encontrar um termo an a partir de ak sem necessidade do primeiro termo.

PG: Propriedade dos três termos consecutivos

Em termos positivos (a, b, c), o termo do meio é a média geométrica dos extremos: b^2 = a * c.

PG: Classificação (crescente e decrescente)

Crescente: a1 > 0 e q > 1 (ou a1 < 0 e 0 < q < 1). Decrescente: a1 > 0 e 0 < q < 1 (ou a1 < 0 e q > 1).

PG: Classificação (oscilante e constante)

Oscilante (ou alternante): q < 0 (sinais intercalados). Constante: q = 1 (ou a1 = 0).

PG: Soma dos n primeiros termos (Sn finita)

Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1), com q ≠ 1. Se q = 1, Sn = n * a1.

PG: Soma dos infinitos termos (S∞)

S = a1 / (1 - q). Válida exclusivamente para PG convergente, onde o módulo da razão satisfaz |q| < 1.

PG: Produto dos n primeiros termos (Pn)

|Pn| = raiz quadrada de (a1 * an)^n. O sinal final depende do sinal dos fatores envolvidos.

Princípio Fundamental da Contagem (PFC)

Se uma decisão A pode ser tomada de m modos e, em seguida, B de n modos, ambas ocorrem de m * n modos.

Princípio Aditivo

Se um evento pode ocorrer de m maneiras ou de n maneiras distintas (mutuamente exclusivas), o total é m + n.

Fatorial: Definição para n ≥ 2

n! = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 1. Produto de todos os números inteiros positivos de 1 até n.

Fatorial de zero (0!)

0! = 1, definido por convenção para manter a consistência da relação n! = n * (n - 1)!.

Fatorial de um (1!)

1! = 1, segue da definição de produto de um único elemento inteiro positivo.

Permutação Simples: Definição e fórmula

Pn = n!. Número de maneiras de ordenar n elementos distintos entre si; todos os elementos são utilizados.

Permutação com Repetição: Fórmula

P(n; a, b, ...) = n! / (a! * b! * ...). Usada quando existem elementos repetidos com frequências a, b, etc.

Permutação Circular: Fórmula

PCn = (n - 1)!. Disposição de n elementos distintos ao redor de um círculo onde rotações não diferenciam arranjos.

Arranjo Simples: Definição e fórmula

A(n, p) = n! / (n - p)!. Agrupamento ordenado de p elementos dentre n distintos; a ordem dos elementos importa.

Arranjo com Repetição: Fórmula

AR(n, p) = n^p. Escolha ordenada de p posições onde cada posição pode receber qualquer um dos n elementos disponíveis.

Combinação Simples: Definição e fórmula

C(n, p) = n! / [p! * (n - p)!]. Agrupamento de p elementos dentre n distintos onde a ordem dos elementos não importa.

Diferença entre Arranjo e Combinação

Em arranjos, mudar a ordem gera um agrupamento novo (ex: pódio, senhas). Em combinações, a ordem não altera o grupo (ex: comissões).

Combinações Complementares

C(n, p) = C(n, n - p). Escolher p elementos para incluir equivale a escolher (n - p) elementos para excluir.

Relação de Stifel

C(n - 1, p - 1) + C(n - 1, p) = C(n, p). Base para a construção do Triângulo de Pascal.

Combinação com Repetição (Completa)

CR(n, p) = C(n + p - 1, p). Escolha de p itens de n tipos possíveis com repetição permitida (problema dos traços e bolas).

Área do Quadrado

A = L^2, onde L é o lado; ou A = d^2 / 2, onde d é a medida da diagonal.

Área do Retângulo

A = b * h, onde b é o comprimento da base e h é a altura perpendicular à base.

Área do Paralelogramo

A = b * h, onde b é a base e h é a altura perpendicular relativa a essa base.

Área do Triângulo (fórmula padrão)

A = (b * h) / 2, onde b é a medida da base e h é a altura perpendicular a ela.

Área do Triângulo Retângulo

A = (c1 * c2) / 2, onde c1 e c2 são as medidas dos dois catetos ortogonais.

Área do Triângulo Equilátero

A = (L^2 * raiz de 3) / 4, onde L é o comprimento do lado do triângulo regular.

Área do Triângulo com dois lados e um ângulo

A = (a * b * sen θ) / 2, onde θ é o ângulo compreendido entre os lados adjacentes a e b.

Área do Triângulo: Fórmula de Heron

A = raiz de [p * (p - a) * (p - b) * (p - c)], onde p = (a + b + c) / 2 é o semiperímetro.

Área do Triângulo com raio inscrito (r)

A = p * r, onde p é o semiperímetro e r é o raio da circunferência inscrita no triângulo.

Área do Triângulo com raio circunscrito (R)

A = (a * b * c) / (4 * R), onde a, b, c são os lados e R é o raio da circunferência circunscrita.

Área do Trapézio

A = [(B + b) * h] / 2, onde B é a base maior, b é a base menor e h é a distância entre as bases.

Área do Losango

A = (D * d) / 2, onde D é a diagonal maior e d é a diagonal menor (perpendiculares entre si).

Área do Círculo

A = π * r^2, onde r é o raio da circunferência delimitadora.

Área da Coroa Circular

A = π * (R^2 - r^2), onde R é o raio do círculo externo maior e r é o raio do menor interno.

Área do Setor Circular (em graus)

A = (α / 360) * π * r^2, onde α é o ângulo central em graus e r é o raio do círculo.

Área do Setor Circular (em radianos)

A = (θ * r^2) / 2, onde θ é a medida do ângulo central expressa em radianos.

Área do Segmento Circular

A = A_setor - A_triângulo. Diferença entre a área do setor correspondente e a do triângulo formado pelos raios.

Área de Polígono Regular

A = p * a, onde p é o semiperímetro do polígono e a é a medida do seu apótema.

Área do Hexágono Regular

A = 6 * [(L^2 * raiz de 3) / 4] = (3 * L^2 * raiz de 3) / 2, equivalente à soma de 6 triângulos equiláteros.

Área da Elipse

A = π * a * b, onde a é o comprimento do semieixo maior e b é o comprimento do semieixo menor.