Noções Básicas sobre Funções

Cartões · 52

Definição de função de A em B

Seja A={1, 2} e f(x) = 2x com B={2, 4, 6}. Cada x de A tem um único f(x) em B: f(1)=2 e f(2)=4. Logo, f é função.

Identificar se uma relação é função

Seja A={1, 2} e R={(1, 3), (1, 4), (2, 5)}. O elemento 1 possui duas imagens distintas (3 e 4), portanto R não é função.

Domínio de uma função polinomial

Para f(x) = 3x - 5, não há restrições de divisão por zero ou raiz negativa. Portanto, o domínio é D = ℝ.

Domínio com fração: f(x) = 1/(x - 3)

O denominador deve ser não nulo: x - 3 ≠ 0, logo x ≠ 3. Portanto, o domínio é D = ℝ - {3}.

Domínio com raiz quadrada: f(x) = √(x - 4)

O radicando deve ser maior ou igual a zero: x - 4 ≥ 0, logo x ≥ 4. O domínio é D = [4, +∞).

Domínio com fração e raiz: f(x) = 1/√(x + 2)

O termo deve ser estritamente positivo: x + 2 > 0, logo x > -2. Portanto, D = (-2, +∞).

Cálculo de imagem direta: f(x) = 2x + 7 para x = 3

Substitui-se x por 3: f(3) = 2*(3) + 7 = 6 + 7 = 13. A imagem é 13.

Cálculo de f(a + 1) para f(x) = 3x - 2

Substitui-se x pela expressão: f(a + 1) = 3*(a + 1) - 2 = 3a + 3 - 2 = 3a + 1.

Encontrar x dado f(x) = 15 em f(x) = 4x - 1

Iguala-se a lei ao valor: 4x - 1 = 15 → 4x = 16 → x = 4. O valor procurado é 4.

Determinar raiz ou zero de f(x) = 5x - 20

Faz-se f(x) = 0: 5x - 20 = 0 → 5x = 20 → x = 4. A raiz da função é 4.

Determinar raiz de f(x) = -2x + 8

Iguala-se a zero: -2x + 8 = 0 → -2x = -8 → x = 4. O zero da função é 4.

Identificar coeficiente angular e linear de f(x) = 3x + 4

Na forma f(x) = ax + b, o coeficiente angular é a = 3 e o coeficiente linear é b = 4.

Identificar coeficiente linear em f(x) = -5x + 9

O termo independente b é a ordenada onde a reta cruza o eixo y: b = 9, ponto (0, 9).

Determinar se f(x) = 4x - 3 é crescente ou decrescente

Analisa-se o coeficiente angular a: como a = 4 > 0, a função afim é estritamente crescente em ℝ.

Determinar se f(x) = -3x + 1 é crescente ou decrescente

Analisa-se o coeficiente angular: a = -3 < 0. Portanto, a função afim é decrescente em ℝ.

Interseção com o eixo y de f(x) = 7x - 2

Faz-se x = 0: f(0) = 7*(0) - 2 = -2. O ponto de interseção é (0, -2).

Interseção com o eixo x de f(x) = 2x - 10

Faz-se y = 0: 2x - 10 = 0 → 2x = 10 → x = 5. O ponto de interseção é (5, 0).

Encontrar a lei da reta que passa por (0, 3) e (2, 7)

b = 3; a = (7 - 3)/(2 - 0) = 4/2 = 2. A lei da função afim é f(x) = 2x + 3.

Encontrar a lei da reta pelos pontos (1, 5) e (3, 9)

a = (9 - 5)/(3 - 1) = 4/2 = 2. Usando y = 2x + b com (1, 5): 5 = 2(1) + b → b = 3. Logo, f(x) = 2x + 3.

Estudo do sinal de f(x) = 2x - 6

Raiz: 2x - 6 = 0 → x = 3. Como a = 2 > 0: f(x) > 0 para x > 3; f(x) < 0 para x < 3; f(x) = 0 para x = 3.

Estudo do sinal de f(x) = -x + 4

Raiz: -x + 4 = 0 → x = 4. Como a = -1 < 0: f(x) > 0 para x < 4 e f(x) < 0 para x > 4.

Problema contextualizado: custo com custo fixo e variável

Fixo R$ 50 mais R$ 2 por unidade x: C(x) = 2x + 50. Para produzir 100 unidades: C(100) = 2*(100) + 50 = R$ 250.

Problema contextualizado: corrida de táxi

Bandeirada R$ 5,00 mais R$ 3,00 por km: T(x) = 3x + 5. Para 12 km: T(12) = 3*(12) + 5 = 36 + 5 = R$ 41,00.

Identificar coeficientes de f(x) = 2x² - 4x + 1

Comparando com f(x) = ax² + bx + c: a = 2, b = -4 e c = 1.

Determinar a concavidade de f(x) = -3x² + 2x - 5

Analisa-se o coeficiente de x²: a = -3 < 0, logo a parábola tem concavidade voltada para baixo.

Determinar a concavidade de f(x) = x² - 6x + 8

Analisa-se o coeficiente de x²: a = 1 > 0, logo a parábola tem concavidade voltada para cima.

Cálculo das raízes de f(x) = x² - 5x + 6

Δ = (-5)² - 4*1*6 = 1. Raízes: x = (5 ± √1)/2 → x1 = 3 e x2 = 2. As raízes são 2 e 3.

Cálculo das raízes de f(x) = x² - 4x + 4

Δ = (-4)² - 4*1*4 = 0. x = 4 / (2*1) = 2. Possui uma raiz real dupla: x = 2.

Cálculo das raízes de f(x) = x² + 2x + 5

Δ = 2² - 4*1*5 = 4 - 20 = -16. Como Δ < 0, a função não possui raízes reais.

Cálculo do vértice (xv, yv) de f(x) = x² - 6x + 5

xv = -b/(2a) = 6/2 = 3. yv = f(3) = 3² - 6*(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4. O vértice é V(3, -4).

Determinar o valor mínimo de f(x) = 2x² - 8x + 10

Como a = 2 > 0, há mínimo no vértice: xv = 8/4 = 2. yv = 2*(2)² - 8*(2) + 10 = 8 - 16 + 10 = 2. Mínimo é 2.

Determinar o valor máximo de f(x) = -x² + 4x + 1

Como a = -1 < 0, há máximo: xv = -4/(2*(-1)) = 2. yv = -(2)² + 4*(2) + 1 = -4 + 8 + 1 = 5. Máximo é 5.

Conjunto imagem de f(x) = x² - 2x + 3

a = 1 > 0 (tem mínimo). xv = 2/2 = 1; yv = 1 - 2 + 3 = 2. Como a parábola abre para cima, Im = [2, +∞).

Conjunto imagem de f(x) = -x² + 6x - 5

a = -1 < 0 (tem máximo). xv = -6/(-2) = 3; yv = -9 + 18 - 5 = 4. O conjunto imagem é Im = (-∞, 4].

Problema de otimização: área máxima de retângulo com perímetro 40

2x + 2y = 40 → y = 20 - x. Área: A(x) = x(20 - x) = -x² + 20x. xv = -20/(-2) = 10. Área máxima = 10*10 = 100.

Problema de lucro máximo: L(x) = -2x² + 80x - 100

Quantidade para lucro máximo: xv = -80/(2*(-2)) = 20 unidades. Lucro máximo: L(20) = -800 + 1600 - 100 = 700.

Estudo do sinal de f(x) = x² - 4

Raízes: x = ±2. Parábola com concavidade para cima (a > 0): f(x) > 0 para x < -2 ou x > 2; f(x) < 0 para -2 < x < 2.

Estudo do sinal de f(x) = -x² + 9

Raízes: x = ±3. a = -1 < 0 (aberta para baixo): f(x) > 0 para -3 < x < 3; f(x) < 0 para x < -3 ou x > 3.

Composição de funções: f(g(x)) com f(x) = 2x + 1 e g(x) = x - 3

Substitui-se g(x) em f: f(g(x)) = 2*(x - 3) + 1 = 2x - 6 + 1 = 2x - 5.

Composição de funções: g(f(x)) com f(x) = 2x + 1 e g(x) = x²

Substitui-se f(x) em g: g(f(x)) = (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1.

Cálculo de f(g(2)) com f(x) = 3x e g(x) = x² + 1

Primeiro calcula-se g(2) = 2² + 1 = 5. Em seguida, f(5) = 3*5 = 15. Portanto, f(g(2)) = 15.

Determinar função inversa: f(x) = 2x + 6

Troca-se y por x: x = 2y + 6 → 2y = x - 6 → y = (x - 6)/2. Inversa: f⁻¹(x) = (x - 6)/2.

Determinar função inversa: f(x) = 5x - 4

Escreve-se x = 5y - 4 → 5y = x + 4 → y = (x + 4)/5. Logo, f⁻¹(x) = (x + 4)/5.

Determinar função inversa com fração: f(x) = (x + 1)/(x - 2)

x = (y + 1)/(y - 2) → x(y - 2) = y + 1 → xy - y = 2x + 1 → y(x - 1) = 2x + 1 → f⁻¹(x) = (2x + 1)/(x - 1).

Verificar se f(x) = 3x é injetora

Se f(x1) = f(x2), então 3x1 = 3x2 → x1 = x2. Elementos distintos geram imagens distintas, logo f é injetora.

Verificar se f: ℝ → ℝ, f(x) = x² é injetora

Para x = -2 e x = 2: f(-2) = 4 e f(2) = 4. Elementos distintos geram a mesma imagem, portanto não é injetora.

Verificar se f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 1 é sobrejetora

Para qualquer y ∈ ℝ, x = (y - 1)/2 ∈ ℝ satisfaz f(x) = y. Imagem é igual ao contradomínio ℝ, logo é sobrejetora.

Definição de função bijetora com f(x) = 4x - 5 em ℝ

Como f é injetora (3x1 ≠ 3x2 se x1 ≠ x2) e sobrejetora (Im = ℝ = Contradomínio), f é classificada como bijetora.

Verificar se f(x) = x² + 1 é par

Calcula-se f(-x): f(-x) = (-x)² + 1 = x² + 1 = f(x). Como f(-x) = f(x), a função é par.

Verificar se f(x) = x³ - 2x é ímpar

Calcula-se f(-x): (-x)³ - 2*(-x) = -x³ + 2x = -(x³ - 2x) = -f(x). Como f(-x) = -f(x), a função é ímpar.

Translação vertical de gráfico: g(x) = x² + 3 a partir de f(x) = x²

A constante +3 somada fora desloca o gráfico de f(x) verticalmente 3 unidades para cima.

Translação horizontal de gráfico: g(x) = (x - 2)² a partir de f(x) = x²

A subtração de 2 no argumento desloca o gráfico de f(x) horizontalmente 2 unidades para a direita.