Números Imaginários

Cartões · 53

Unidade imaginária (definição)

Elemento denotado por i definido formalmente pela propriedade i² = -1.

Definição de número imaginário puro

Número da forma bi, onde b é um número real diferente de zero e i é a unidade imaginária.

Notação da unidade imaginária na engenharia elétrica

Representado pela letra j para evitar confusão com o símbolo de corrente elétrica (i).

Valor de i elevado a 0

1, pois qualquer número não nulo elevado a zero resulta em 1.

Valor de i elevado a 1

i, qualquer número elevado a 1 é ele mesmo.

Valor de i elevado a 2

-1, que decorre diretamente da definição da unidade imaginária.

Valor de i elevado a 3

-i, obtido pelo produto i² · i = (-1) · i = -i.

Valor de i elevado a 4

1, obtido pelo produto i² · i² = (-1) · (-1) = 1.

Ciclo das potências inteiras de i

As potências de i repetem-se em ciclos de 4 valores: 1, i, -1 e -i.

Regra para calcular i^n com n natural

Divide-se n por 4; o resultado i^n é igual a i^r, onde r é o resto da divisão (0, 1, 2 ou 3).

Valor de i^25

i, pois 25 dividido por 4 deixa resto 1 (i¹ = i).

Valor de i^42

-1, pois 42 dividido por 4 deixa resto 2 (i² = -1).

Valor de i^100

1, pois 100 dividido por 4 deixa resto 0 (i⁰ = 1).

Valor do inverso da unidade imaginária (1/i)

-i, pois (1/i) · (i/i) = i / i² = i / (-1) = -i.

Valor de i elevado a -1

-i, equivalente a 1/i.

Valor de i elevado a -2

-1, equivalente a 1/(i²) = 1/(-1) = -1.

Soma de quatro potências consecutivas de i

Sempre igual a 0, pois i^0 + i^1 + i^2 + i^3 = 1 + i - 1 - i = 0.

Adição de números imaginários puros: bi + di

(b + d)i, somando-se os coeficientes reais.

Subtração de números imaginários puros: bi - di

(b - d)i, subtraindo-se os coeficientes reais.

Multiplicação de números imaginários puros: (bi) · (di)

-bd, pois bi · di = bd(i²) = bd(-1) = -bd, resultando num número real.

Divisão de números imaginários puros: (bi) / (di)

b / d, com d ≠ 0, cancelando a unidade imaginária e resultando em um número real.

Raiz quadrada de número real negativo: √(-a) com a > 0

i√a, pois √(-a) = √(a · (-1)) = √a · √(-1) = i√a.

Erro comum na multiplicação: √(-4) · √(-9)

Não aplicar a regra do produto antes de extrair i: (2i) · (3i) = 6i² = -6, e não √(36) = 6.

Forma algébrica de um número complexo

z = a + bi, onde a é a parte real e b é a parte imaginária (a, b ∈ ℝ).

Notação da parte imaginária: Im(z)

Indica o coeficiente de i no número z = a + bi; portanto, Im(z) = b (um número real).

Notação da parte real: Re(z)

Indica o termo real isolado em z = a + bi; portanto, Re(z) = a.

Condição para z ser puramente imaginário

Re(z) = 0 e Im(z) ≠ 0.

Condição para z ser puramente real

Im(z) = 0.

O número 0 é imaginário?

O zero tem parte imaginária nula (0 = 0 + 0i), sendo considerado real, não imaginário puro.

Conjugado de um número imaginário puro: conj(bi)

-bi, invertendo o sinal da parte imaginária.

Módulo de um número imaginário puro: |bi|

|b|, o valor absoluto do coeficiente real b.

Argumento principal de bi com b > 0

π/2 radianos (ou 90°), localizado no semi-eixo imaginário positivo.

Argumento principal de bi com b < 0

-π/2 radianos (ou -90° / 270°), localizado no semi-eixo imaginário negativo.

Representação de bi no Plano de Argand-Gauss

Ponto (afixo) sobre o eixo vertical (eixo das ordenadas), com coordenadas (0, b).

Eixo imaginário no Plano Complexo

O eixo vertical (geralmente eixo Y), onde estão representados todos os múltiplos reais de i.

Origem histórica da unidade imaginária

Surgiu na resolução de equações cúbicas com Cardano e Bombelli no século XVI.

Quem introduziu a notação do símbolo i?

Leonhard Euler, no século XVIII.

Fórmula de Euler aplicada a i

e^(iθ) = cos(θ) + i sen(θ).

Expressão de i na forma exponencial polar

i = e^(iπ/2), pois módulo = 1 e argumento = π/2.

Expressão de -i na forma exponencial polar

-i = e^(-iπ/2) ou e^(i 3π/2).

Identidade de Euler

e^(iπ) + 1 = 0, relacionando os números e, i, π, 1 e 0.

Valor de i elevado a i (i^i)

e^(-π/2) ≈ 0,20788, um número puramente real no ramo principal.

Cálculo de i^i pelo ramo principal

i^i = (e^(iπ/2))^i = e^(i² π/2) = e^(-π/2).

Raiz quadrada principal da unidade imaginária (√i)

(√2 / 2) + i(√2 / 2), equivalente a e^(iπ/4).

Quadrado de (1 + i)

2i, pois (1 + i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i - 1 = 2i.

Quadrado de (1 - i)

-2i, pois (1 - i)² = 1 - 2i + i² = 1 - 2i - 1 = -2i.

Logaritmo natural principal de i: ln(i)

i(π/2), derivado da identidade polar i = e^(iπ/2).

Interpretação geométrica da multiplicação por i

Equivale a uma rotação de 90° (π/2 rad) no sentido anti-horário em torno da origem.

Interpretação geométrica da multiplicação por -i

Equivale a uma rotação de 90° no sentido horário em torno da origem.

Os números imaginários possuem relação de ordem natural (< ou >)?

Não, o corpo dos números complexos não pode ser ordenado de maneira compatível com suas operações.

Comutatividade da soma e do produto com números imaginários

Válida: z + w = w + z e z · w = w · z para quaisquer números complexos ou imaginários.

Soluções da equação x² + 1 = 0

x = i e x = -i.

Soluções da equação x² + k² = 0 com k real

x = ± ki.