Polinômios 2

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Polinômio

Expressão algébrica formada pela soma de monômios com expoentes inteiros não negativos nas variáveis.

Monômio

Expressão algébrica composta pelo produto entre um coeficiente numérico e uma parte literal.

Binômio

Polinômio composto pela soma ou subtração de exatamente dois monômios não semelhantes.

Trinômio

Polinômio composto pela soma ou subtração de exatamente três monômios não semelhantes.

Grau de um polinômio

Maior expoente da variável associado a um coeficiente não nulo em uma expressão reduzida.

Polinômio nulo

Polinômio em que todos os coeficientes são iguais a zero; seu grau não é definido.

Polinômio constante

Polinômio formado apenas por um número real não nulo, cujo grau é zero.

Coeficiente dominante

Coeficiente numérico que multiplica o termo de maior grau do polinômio.

Polinômio mônico

Polinômio cujo coeficiente do termo de maior grau é igual a 1.

Termo independente

Termo numérico que não acompanha variável, correspondendo ao expoente zero.

Polinômios idênticos

Dois polinômios que possuem coeficientes correspondentes estritamente iguais para todos os graus.

Valor numérico de um polinômio

Número obtido ao substituir a variável por um valor real específico e efetuar os cálculos.

Raiz de um polinômio

Valor da variável que faz o polinômio ser igual a zero quando calculado.

Teorema Fundamental da Álgebra

Todo polinômio de grau n maior ou igual a 1 possui exatamente n raízes complexas, considerando multiplicidades.

Soma de polinômios

Operação realizada somando-se os coeficientes dos termos semelhantes de mesmo expoente.

Subtração de polinômios

Operação obtida adicionando-se ao primeiro polinômio o oposto do segundo polinômio.

Multiplicação de polinômios

Operação em que cada termo de um polinômio multiplica todos os termos do outro, somando os expoentes.

Grau do produto de polinômios

Igual à soma dos graus dos dois polinômios multiplicados, desde que não sejam nulos.

Divisão euclidiana de polinômios

Relação P(x) = D(x)Q(x) + R(x), onde o grau de R é menor que o grau de D ou R é nulo.

Grau do quociente

Igual à diferença entre o grau do dividendo e o grau do divisor.

Grau do resto

Sempre estritamente menor do que o grau do polinômio divisor.

Teorema do Resto

O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio x - a é numericamente igual a P(a).

Teorema de D'Alembert

Um polinômio P(x) é divisível por x - a se e somente se a for raiz de P(x).

Dispositivo de Briot-Ruffini

Algoritmo prático para efetuar a divisão de um polinômio por binômios do tipo x - a.

Método da chave

Processo de divisão longa entre polinômios análogo ao algoritmo da divisão numérica.

Relações de Girard

Fórmulas que relacionam os coeficientes de um polinômio às somas e produtos de suas raízes.

Soma das raízes (Girard)

Razão entre o oposto do segundo coeficiente e o coeficiente dominante: -a(n-1) / an.

Produto das raízes (Girard)

Razão calculada por (-1)^n vezes o termo independente dividido pelo coeficiente dominante.

Raiz dupla ou de multiplicidade 2

Valor que anula simultaneamente o polinômio e a sua primeira derivada.

Multiplicidade de uma raiz

Número de vezes que o fator linear (x - r) aparece na fatoração completa do polinômio.

Teorema das Raízes Complexas

Se um polinômio com coeficientes reais possui a raiz complexa a + bi, seu conjugado a - bi também é raiz.

Teorema das Raízes Irracionais

Para coeficientes racionais, se a + raiz(b) é raiz, o conjugado irracional a - raiz(b) também é raiz.

Teorema das Raízes Racionais

As possíveis raízes p/q têm p como divisor do termo independente e q como divisor do coeficiente dominante.

Fatoração de polinômios

Processo de reescrever uma expressão como o produto de fatores de menor grau irredutíveis.

Polinômio irredutível

Polinômio que não pode ser decomposto como produto de fatores não constantes de menor grau em dado corpo.

Forma fatorada de P(x)

Representação an*(x - r1)*(x - r2)...*(x - rn), onde r são as raízes do polinômio.

Regra dos Sinais de Descartes

Regra que delimita o número de raízes reais positivas e negativas pela variação de sinais dos coeficientes.

Polinômio simétrico

Polinômio de várias variáveis cujo valor não se altera após qualquer permutação dessas variáveis.

Polinômio homogêneo

Polinômio em que todos os monômios componentes possuem exatamente a mesma soma de expoentes.

Polinômio derivado

Polinômio obtido pela derivação termo a termo de P(x), reduzindo em 1 unidade cada expoente.

Interpolação de Lagrange

Método para encontrar o polinômio de menor grau que assume valores dados em pontos específicos.

Polinômio característico

Polinômio obtido pelo determinante det(A - lambda*I), cujas raízes são os autovalores da matriz A.

Polinômio de Taylor

Aproximação polinomial de uma função derivável em torno de um ponto base via derivadas sucessivas.

Quadrado da soma de dois termos

Produto notável dado pela fórmula (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

Diferença de quadrados

Fatoração dada pela fórmula a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).

Cubo da soma de dois termos

Produto notável dado por (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.

Soma de cubos

Fatoração dada pela expressão a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2).

Diferença de cubos

Fatoração dada pela expressão a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).

Máximo Divisor Comum de Polinômios (MDC)

Polinômio mônico de maior grau possível que divide exatamente dois ou mais polinômios.

Mínimo Múltiplo Comum de Polinômios (MMC)

Polinômio mônico de menor grau possível que é divisível por todos os polinômios dados.