Polinômios

Cartões · 50

Adição: (3x² + 2x - 5) + (x² - 4x + 7)

Agrupe termos semelhantes: (3x² + x²) + (2x - 4x) + (-5 + 7) = 4x² - 2x + 2.

Subtração: (5x³ - 2x + 4) - (2x³ + 3x - 1)

Inverta os sinais do segundo termo e some: (5x³ - 2x³) + (-2x - 3x) + (4 + 1) = 3x³ - 5x + 5.

Multiplicação por monômio: 3x(2x² - 4x + 5)

Distribua o monômio multiplicando coeficientes e somando expoentes: 6x³ - 12x² + 15x.

Multiplicação de binômios: (x + 3)(x + 5)

Aplique a distributiva: x·x + x·5 + 3·x + 3·5 = x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15.

Multiplicação com sinais opostos: (2x - 1)(x + 4)

Distribua: 2x·x + 2x·4 - 1·x - 1·4 = 2x² + 8x - x - 4 = 2x² + 7x - 4.

Divisão por monômio: (8x⁴ - 6x³ + 2x²) / (2x²)

Divida cada termo por 2x²: (8x⁴/2x²) - (6x³/2x²) + (2x²/2x²) = 4x² - 3x + 1.

Quadrado da soma: (x + 6)²

Aplique a² + 2ab + b²: x² + 2(x)(6) + 6² = x² + 12x + 36.

Quadrado da diferença: (2x - 3)²

Aplique a² - 2ab + b²: (2x)² - 2(2x)(3) + 3² = 4x² - 12x + 9.

Produto da soma pela diferença: (3x + 4)(3x - 4)

Aplique a² - b²: (3x)² - 4² = 9x² - 16.

Cubo da soma: (x + 2)³

Aplique a³ + 3a²b + 3ab² + b³: x³ + 3(x²)(2) + 3(x)(4) + 8 = x³ + 6x² + 12x + 8.

Cubo da diferença: (x - 1)³

Aplique a³ - 3a²b + 3ab² - b³: x³ - 3(x²)(1) + 3(x)(1) - 1 = x³ - 3x² + 3x - 1.

Fator comum em evidência: 6x³ + 9x²

Identifique o MDC dos termos (3x²) e divida: 3x²(2x + 3).

Fator comum em evidência: 12a²b - 8ab² + 4ab

Identifique o MDC (4ab) e coloque em evidência: 4ab(3a - 2b + 1).

Fatoração por agrupamento: ax + ay + bx + by

Agrupe aos pares: a(x + y) + b(x + y), depois coloque (x + y) em evidência: (x + y)(a + b).

Fatoração por agrupamento: x³ + 2x² + 3x + 6

Agrupe: x²(x + 2) + 3(x + 2); evidencie o binômio comum: (x + 2)(x² + 3).

Diferença de quadrados: x² - 25

Tire a raiz quadrada de cada termo (x e 5): (x + 5)(x - 5).

Diferença de quadrados: 4x² - 49

Tire as raízes de 4x² e 49 (2x e 7): (2x + 7)(2x - 7).

Trinômio quadrado perfeito: x² + 10x + 25

Note que √x² = x, √25 = 5 e 2·x·5 = 10x: fatora como (x + 5)².

Trinômio quadrado perfeito: 9x² - 12x + 4

Note que √(9x²) = 3x, √4 = 2 e 2·(3x)·2 = 12x: fatora como (3x - 2)².

Trinômio do 2º grau (soma e produto): x² + 7x + 12

Ache números com soma 7 e produto 12 (3 e 4): (x + 3)(x + 4).

Trinômio do 2º grau: x² - 5x + 6

Ache números com soma -5 e produto 6 (-2 e -3): (x - 2)(x - 3).

Trinômio do 2º grau: x² - x - 20

Ache números com soma -1 e produto -20 (-5 e 4): (x - 5)(x + 4).

Trinômio do 2º grau com a > 1: 2x² + 5x + 3

Reescreva 5x como 2x + 3x: 2x² + 2x + 3x + 3 = 2x(x + 1) + 3(x + 1) = (x + 1)(2x + 3).

Trinômio do 2º grau com a > 1: 3x² - 7x + 2

Reescreva -7x como -6x - x: 3x(x - 2) - 1(x - 2) = (x - 2)(3x - 1).

Soma de cubos: x³ + 8

Aplique a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²): (x + 2)(x² - 2x + 4).

Diferença de cubos: x³ - 27

Aplique a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²): (x - 3)(x² + 3x + 9).

Diferença de cubos: 8x³ - 1

Tire raízes cúbicas (2x e 1): (2x - 1)((2x)² + (2x)(1) + 1²) = (2x - 1)(4x² + 2x + 1).

Divisão pelo método da chave: (x² + 5x + 6) / (x + 2)

Divida x²/x = x; subtraia x(x+2) restando 3x + 6; divida 3x/x = 3; resto 0. Quociente: x + 3.

Divisão pelo método da chave: (2x³ - 3x² + x - 1) / (x - 1)

1º termo 2x² (subtrai 2x³-2x² = -x²); 2º termo -x (subtrai -x²+x = 0); quociente 2x² - x, resto -1.

Dispositivo de Briot-Ruffini: (x³ - 6x² + 11x - 6) / (x - 1)

Raiz = 1. Coeficientes: 1, -6, 11, -6. Baixa 1; 1·1 - 6 = -5; -5·1 + 11 = 6; 6·1 - 6 = 0. Quociente: x² - 5x + 6.

Dispositivo de Briot-Ruffini: (2x³ + 3x² - 5) / (x - 2)

Raiz = 2. Coeficientes: 2, 3, 0, -5. Baixa 2; 2·2 + 3 = 7; 7·2 + 0 = 14; 14·2 - 5 = 23. Quociente: 2x² + 7x + 14, resto: 23.

Teorema do Resto: resto de (x³ - 4x + 3) / (x - 2)

Substitua x por 2 no polinômio: P(2) = 2³ - 4(2) + 3 = 8 - 8 + 3 = 3. O resto é 3.

Teorema de D'Alembert: verificar se x - 3 divide x² - 9

Calcule P(3): 3² - 9 = 0. Como o resto é zero, x - 3 divide perfeitamente o polinômio.

Fatoração combinada (evidência + diferença de quadrados): 2x² - 18

Coloque 2 em evidência: 2(x² - 9). Depois fatore a diferença de quadrados: 2(x + 3)(x - 3).

Fatoração combinada: 3x³ - 12x

Evidencie 3x: 3x(x² - 4). Fatore a diferença de quadrados: 3x(x + 2)(x - 2).

Fatoração combinada: x⁴ - 16

Diferença de quadrados: (x² + 4)(x² - 4). Fatore o segundo termo novamente: (x² + 4)(x + 2)(x - 2).

Simplificação de fração algébrica: (x² - 4) / (x + 2)

Fatore o numerador como (x + 2)(x - 2) e simplifique com o denominador: resultado x - 2.

Simplificação de fração algébrica: (x² + 2x + 1) / (x² - 1)

Fatore numerador e denominador: (x + 1)² / [(x + 1)(x - 1)]. Cancele (x + 1): (x + 1)/(x - 1).

Determinar raízes por fatoração: x² - 9 = 0

Fatore: (x - 3)(x + 3) = 0. Igualando cada fator a zero: x = 3 ou x = -3.

Determinar raízes por fatoração: x² - 6x + 8 = 0

Fatore: (x - 2)(x - 4) = 0. Igualando os fatores a zero: x = 2 ou x = 4.

Completar quadrados: transformar x² + 6x em forma de quadrado perfeito

Some e subtraia (6/2)² = 9: (x² + 6x + 9) - 9 = (x + 3)² - 9.

Completar quadrados: transformar x² - 8x + 5 em forma de vértice

Tome (-8/2)² = 16: (x² - 8x + 16) - 16 + 5 = (x - 4)² - 11.

Grau do produto de polinômios: grau de (x² + 1)(x³ - 2)

Some os graus dos fatores: grau(x²) + grau(x³) = 2 + 3 = 5.

Grau da soma de polinômios: (4x³ + x) + (-4x³ + 2x²)

Some os termos: os termos de grau 3 se cancelam (4x³ - 4x³ = 0), restando 2x² + x. O grau é 2.

Multiplicação de polinômios: (x² + 2x - 1)(x - 3)

Multiplique cada termo: x³ - 3x² + 2x² - 6x - x + 3. Junte termos: x³ - x² - 7x + 3.

Fatoração de trinômio com sinal negativo no termo constante: x² + 2x - 15

Ache dois números cuja soma seja 2 e o produto seja -15 (+5 e -3): (x + 5)(x - 3).

Fatoração com três termos e grau 4: x⁴ - 5x² + 4

Substitua y = x²: y² - 5y + 4 = (y - 1)(y - 4). Retorne x: (x² - 1)(x² - 4) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2).

Fatoração por agrupamento com 4 termos: 2x³ - 4x² + 3x - 6

Agrupe: 2x²(x - 2) + 3(x - 2). Isole o fator comum: (x - 2)(2x² + 3).

Valor numérico de polinômio: P(x) = 2x³ - 3x + 4 para x = -1

Substitua x por -1: 2(-1)³ - 3(-1) + 4 = 2(-1) + 3 + 4 = -2 + 7 = 5.

Fatoração da diferença: 50x² - 2y²

Evidencie o MDC 2: 2(25x² - y²). Aplique diferença de quadrados: 2(5x + y)(5x - y).