Produto Vetorial em Álgebra Linear

Cartões · 51

O que é o produto vetorial?

Operação entre dois vetores no R3 cujo resultado é um terceiro vetor perpendicular a ambos.

Espaço dimensional onde o produto vetorial usual está definido

Apenas no espaço tridimensional R3 (e em R7 via álgebras de Lie, mas usualmente restrito a R3).

Notação usual do produto vetorial entre u e v

u x v ou u ∧ v.

Natureza do resultado de u x v

É uma grandeza vetorial (possui módulo, direção e sentido), diferente do produto escalar.

Fórmula do módulo de u x v

|u x v| = |u| * |v| * sen(θ), onde θ é o ângulo entre u e v (0 ≤ θ ≤ π).

Direção do vetor resultante u x v

Perpendicular (ortogonal) simultaneamente aos vetores u e v.

Regra para determinar o sentido de u x v

Regra da mão direita (ou regra do saca-rolhas).

Produto vetorial de vetores paralelos ou colineares

Resulta no vetor nulo: u x v = 0.

Produto vetorial de um vetor por ele mesmo (u x u)

É o vetor nulo: 0 = (0, 0, 0).

Anticomutatividade do produto vetorial

u x v = -(v x u). Inverter a ordem inverte o sentido do vetor resultante.

Fórmula de u x v por determinante simbólico

det([i, j, k; u1, u2, u3; v1, v2, v3]).

Componente x de u x v em termos de coordenadas

(u x v)_x = u2*v3 - u3*v2.

Componente y de u x v em termos de coordenadas

(u x v)_y = u3*v1 - u1*v3 (ou -(u1*v3 - u3*v1)).

Componente z de u x v em termos de coordenadas

(u x v)_z = u1*v2 - u2*v1.

Fórmula por coordenadas completas de u x v

(u2*v3 - u3*v2, u3*v1 - u1*v3, u1*v2 - u2*v1).

Produto vetorial i x j na base canônica

k

Produto vetorial j x k na base canônica

i

Produto vetorial k x i na base canônica

j

Produto vetorial j x i na base canônica

-k

Produto vetorial k x j na base canônica

-i

Produto vetorial i x k na base canônica

-j

Interpretação geométrica do módulo |u x v|

Área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v.

Área do triângulo formado por u e v

Metade do módulo do produto vetorial: A = (1/2) * |u x v|.

Distributividade à esquerda sobre a soma

u x (v + w) = (u x v) + (u x w).

Distributividade à direita sobre a soma

(u + v) x w = (u x w) + (v x w).

Multiplicação por escalar: c * (u x v)

(c * u) x v = u x (c * v).

Associatividade do produto vetorial

Não é associativo: u x (v x w) ≠ (u x v) x w em geral.

Identidade de Jacobi para o produto vetorial

u x (v x w) + v x (w x u) + w x (u x v) = 0.

Fórmula de Lagrange (BAC-CAB)

u x (v x w) = (u . w)v - (u . v)w.

Identidade de Lagrange para normas

|u x v|^2 = |u|^2 * |v|^2 - (u . v)^2.

O que é o produto triplo escalar (produto misto)?

Operação definida por u . (v x w) ou det([u; v; w]).

Interpretação geométrica do produto misto |u . (v x w)|

Volume do paralelepípedo sustentado pelos vetores u, v e w.

Volume do tetraedro formado por u, v e w

V = (1/6) * |u . (v x w)|.

Condição de coplanaridade de três vetores usando produto misto

u, v e w são coplanares se, e somente se, u . (v x w) = 0.

Permutação cíclica no produto misto

u . (v x w) = v . (w x u) = w . (u x v).

Inversão de ordem no produto misto

u . (v x w) = -u . (w x v).

Critério de colinearidade via produto vetorial

Dois vetores u e v são paralelos (colineares) se, e somente se, u x v = 0.

Vetor normal a um plano definido por dois vetores diretores

O vetor normal n pode ser obtido por n = u x v.

Equação geral do plano ax + by + cz + d = 0 a partir de u x v

Os coeficientes (a, b, c) correspondem às coordenadas de n = u x v.

Distância de um ponto P a uma reta r com vetor diretor v

d = |v x AP| / |v|, onde A é um ponto pertencente à reta r.

Distância entre duas retas reversas r1 e r2

d = |(v1 x v2) . P1P2| / |v1 x v2|.

Cálculo de torque na física via produto vetorial

Torque = r x F, onde r é o vetor posição e F é a força aplicada.

Força magnética de Lorentz sobre uma carga em movimento

F = q * (v x B), onde v é a velocidade e B o campo magnético.

Momento angular vetorial L

L = r x p, onde r é a posição e p é a quantidade de movimento linear.

Comportamento do produto vetorial sob matrizes ortogonais com det = 1

Preserva a forma: R(u x v) = (Ru) x (Rv) para rotações puras em SO(3).

Representação matricial antissimétrica do produto vetorial

u x v = [u]_x * v, onde [u]_x é a matriz antissimétrica 3x3 associada a u.

Matriz antissimétrica [u]_x para u = (u1, u2, u3)

[0, -u3, u2; u3, 0, -u1; -u2, u1, 0].

Relação entre produto vetorial e produto exterior (álgebra de Clifford)

u x v é o dual de Hodge do produto exterior u ∧ v em 3 dimensões: *(u ∧ v).

Derivada temporal da regra do produto vetorial: d/dt (u x v)

(du/dt x v) + (u x dv/dt), preservando a ordem dos fatores.

Propriedade de ortogonalidade: (u x v) . u

Igual a zero: (u x v) . u = 0, pois o vetor resultante é perpendicular a u.

Propriedade de ortogonalidade: (u x v) . v

Igual a zero: (u x v) . v = 0, pois o vetor resultante é perpendicular a v.