Progressão Aritmética (PA)

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O que define uma Progressão Aritmética (PA)?

É uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante fixa chamada razão (r).

Como calcular a razão (r) de uma PA a partir de dois termos consecutivos?

A razão é dada pela diferença: r = a(n) - a(n-1).

Qual é a fórmula do termo geral de uma PA com a1 e r?

a(n) = a1 + (n - 1) * r, onde a(n) é o n-ésimo termo, a1 é o primeiro termo e r é a razão.

Como expressar o termo a(n) a partir de um termo intermediário a(k)?

a(n) = a(k) + (n - k) * r.

Quando uma PA é classificada como crescente?

Uma PA é crescente quando sua razão é positiva: r > 0.

Quando uma PA é classificada como decrescente?

Uma PA é decrescente quando sua razão é negativa: r < 0.

Quando uma PA é classificada como constante ou estacionária?

Uma PA é constante quando sua razão é nula: r = 0.

Qual é a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA finita (Sn)?

Sn = ((a1 + an) * n) / 2.

Qual é a fórmula da soma de n termos de uma PA dependendo apenas de a1, n e r?

Sn = (n / 2) * [2*a1 + (n - 1) * r].

Qual é a propriedade fundamental de três termos consecutivos em uma PA (a, b, c)?

O termo do meio é a média aritmética dos vizinhos: b = (a + c) / 2, ou 2b = a + c.

Qual é a melhor representação algébrica para 3 termos consecutivos de uma PA?

(x - r, x, x + r). A soma dos termos resulta diretamente em 3x.

Qual é a melhor representação algébrica para 4 termos consecutivos de uma PA?

(x - 3y, x - y, x + y, x + 3y), onde a razão da progressão é 2y.

Qual é a melhor representação algébrica para 5 termos consecutivos de uma PA?

(x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r). A soma resulta diretamente em 5x.

Propriedade dos termos equidistantes dos extremos em uma PA finita:

A soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma do primeiro com o último termo: a(k) + a(n-k+1) = a1 + an.

Em uma PA com número ímpar de termos, qual é a relação do termo central com a soma?

A soma de todos os termos é igual ao termo central multiplicado pelo número de termos: Sn = n * a(central).

Como calcular o termo central de uma PA com n termos ímpares?

O índice do termo central é dado por (n + 1) / 2.

O que significa interpolar ou inserir k meios aritméticos entre a e b?

Significa formar uma PA de (k + 2) termos, onde o primeiro termo é a e o último termo é b.

Qual é a fórmula da razão ao interpolar k meios aritméticos entre a e b?

r = (b - a) / (k + 1).

Exemplo: Calcule o 10º termo da PA (3, 7, 11, ...).

a1 = 3, r = 4. a10 = 3 + (10 - 1) * 4 = 3 + 36 = 39.

Exemplo: Qual é a razão da PA onde a1 = 5 e a20 = 62?

62 = 5 + 19r => 19r = 57 => r = 3.

Exemplo: Quantos termos tem a PA finita (2, 5, 8, ..., 89)?

89 = 2 + (n - 1)*3 => 87 = 3(n - 1) => n - 1 = 29 => n = 30 termos.

Exemplo: Calcule a soma dos 20 primeiros termos da PA (2, 6, 10, ...).

r = 4. a20 = 2 + 19*4 = 78. S20 = ((2 + 78) * 20) / 2 = 80 * 10 = 800.

Exemplo: Se a soma de 3 termos em PA é 15 e o produto é 45, quais são os termos?

Termos: (x-r, x, x+r). 3x = 15 => x = 5. (5-r)*5*(5+r) = 45 => 25 - r^2 = 9 => r = 4. Termos: (1, 5, 9).

Qual tipo de função descreve o termo geral de uma PA?

Uma função afim (função do 1º grau): a(n) = r*n + (a1 - r), onde o coeficiente angular é a razão r.

O gráfico dos pontos (n, a(n)) de uma PA no plano cartesiano forma o quê?

Pontos colineares e discretos sobre uma reta de inclinação igual à razão r.

Qual tipo de função descreve a soma Sn de uma PA em relação a n?

Uma função quadrática sem termo independente: Sn = (r/2)*n^2 + (a1 - r/2)*n.

Como obter o enésimo termo a(n) conhecendo a função da soma Sn?

a(n) = Sn - S(n-1) para n ≥ 2, e a1 = S1.

Exemplo: Se Sn = 2n^2 + 3n, qual é o valor do primeiro termo a1?

a1 = S1 = 2(1)^2 + 3(1) = 2 + 3 = 5.

Exemplo: Se Sn = 2n^2 + 3n, qual é a razão da PA?

O coeficiente de n^2 é r/2. Logo, r/2 = 2 => r = 4.

Exemplo: Interpole 4 meios aritméticos entre 2 e 17.

Total de termos = 6. r = (17 - 2) / (4 + 1) = 15 / 5 = 3. Meios: 5, 8, 11, 14.

Qual é a soma dos n primeiros números inteiros positivos (1 + 2 + ... + n)?

Sn = n * (n + 1) / 2.

Qual é a soma dos n primeiros números ímpares positivos (1, 3, 5, ..., 2n-1)?

A soma dos n primeiros ímpares positivos é sempre igual a n^2.

Qual é a soma dos n primeiros números pares positivos (2, 4, 6, ..., 2n)?

Sn = n * (n + 1) = n^2 + n.

O que acontece se somarmos uma constante c a todos os termos de uma PA?

A nova sequência continua sendo uma PA com a mesma razão r original.

O que acontece se multiplicarmos todos os termos de uma PA por uma constante c?

A nova sequência será uma PA cuja razão será multiplicada por c: r' = c * r.

A soma termo a termo de duas PAs de razões r1 e r2 gera qual sequência?

Gera uma nova PA cuja razão é igual à soma das razões: r3 = r1 + r2.

Exemplo: Determine x para que (x - 2, 2x + 1, 5x - 2) forme uma PA.

2*(2x + 1) = (x - 2) + (5x - 2) => 4x + 2 = 6x - 4 => 2x = 6 => x = 3.

Exemplo: Em uma PA com 11 termos, o termo central a6 é 14. Quanto vale S11?

S11 = 11 * a6 = 11 * 14 = 154.

Exemplo: Quantos múltiplos de 7 existem entre 20 e 100?

Primeiro: 21, último: 98. 98 = 21 + (n - 1)*7 => 77 = 7(n - 1) => n - 1 = 11 => n = 12 múltiplos.

Exemplo: Qual é o primeiro termo negativo da PA (50, 46, 42, ...)?

r = -4. an = 50 + (n-1)(-4) < 0 => 50 - 4n + 4 < 0 => 4n > 54 => n > 13,5. Logo, n = 14: a14 = -2.

Dica de prova: Se um problema de geometria envolve ângulos em PA num triângulo, como montar?

Use (x - r, x, x + r). Como a soma é 180°, temos 3x = 180° => x = 60°. Um dos ângulos é 60°.

Dica de prova: Se os lados de um triângulo retângulo estão em PA, quais são suas medidas?

Eles são proporcionais ao triângulo retângulo clássico (3k, 4k, 5k), com razão r = k.

Qual é a relação entre os índices de termos equidistantes em uma PA?

Se i + j = p + q, então a(i) + a(j) = a(p) + a(q).

Exemplo: Se numa PA a3 + a8 = 30, quanto vale a1 + a10?

Como 3 + 8 = 1 + 10 = 11, os termos são equidistantes dos mesmos limites. Logo, a1 + a10 = 30.

Dica de prova: Como saber rapidamente se o número de termos de uma PA finita é par ou ímpar?

Verifique a fórmula n = (an - a1)/r + 1. Se o resultado for divisível por 2, é par; senão, ímpar.

O que é uma Progressão Aritmética de segunda ordem?

É uma sequência em que as diferenças entre termos consecutivos formam, elas próprias, uma PA.

Qual é o termo geral de uma PA de segunda ordem?

É expresso por um polinômio do 2º grau: a(n) = A*n^2 + B*n + C.

Exemplo: Sabendo que a5 = 18 e a10 = 38, calcule a razão r e o primeiro termo a1.

a10 - a5 = 5r => 20 = 5r => r = 4. a1 = a5 - 4r = 18 - 16 = 2.

Exemplo: Qual é o valor de 5 + 9 + 13 + ... + 41?

r = 4. 41 = 5 + 4(n - 1) => n = 10 termos. Sn = (5 + 41)*10 / 2 = 46 * 5 = 230.

Dica de prova: Como resolver problemas de contagem de termos com PA no dia a dia?

Fórmula direta de contagem: n = (Último - Primeiro) / Razão + 1.

Exemplo: Se a soma dos n primeiros termos de uma PA é Sn = 3n^2, qual é o terceiro termo a3?

S3 = 3*(3^2) = 27 e S2 = 3*(2^2) = 12. a3 = S3 - S2 = 27 - 12 = 15.

O que ocorre com a razão de uma nova PA formada pegando apenas os termos de ordem par de uma PA?

A nova sequência terá termos alternados, portanto sua nova razão será o dobro da original (2r).