Progressão Aritmética (PA)

Cartões · 20

O que é uma Progressão Aritmética (PA)?

Sequência numérica onde a diferença entre qualquer termo (a partir do segundo) e seu antecessor é constante, chamada de razão.

Como calcular a razão (r) de uma PA?

r = a(n) - a(n-1). Exemplo: na PA (2, 5, 8), r = 5 - 2 = 3.

PA crescente

Ocorre quando a razão é positiva (r > 0). Exemplo: (3, 7, 11, ...), onde r = 4.

PA decrescente

Ocorre quando a razão é negativa (r < 0). Exemplo: (20, 15, 10, ...), onde r = -5.

PA constante

Ocorre quando a razão é nula (r = 0). Exemplo: (7, 7, 7, ...).

Fórmula do termo geral de uma PA

a_n = a_1 + (n - 1) * r, onde a_n é o n-ésimo termo, a_1 é o primeiro termo e r é a razão.

Exemplo: calcule o 10º termo da PA (2, 6, 10, ...)

a_1 = 2, r = 4. a_10 = 2 + (10 - 1) * 4 = 2 + 36 = 38.

Relação entre dois termos quaisquer (a_n e a_k)

a_n = a_k + (n - k) * r. Útil quando o primeiro termo não é fornecido diretamente.

Exemplo: se a_5 = 17 e r = 3, qual é o a_1?

17 = a_1 + (5 - 1) * 3 => 17 = a_1 + 12 => a_1 = 5.

Propriedade do termo médio de três termos consecutivos

Em (a, b, c), o termo do meio é a média aritmética dos vizinhos: b = (a + c) / 2.

Exemplo: ache x tal que (x, x+3, 14) formem uma PA

x + 3 = (x + 14) / 2 => 2x + 6 = x + 14 => x = 8.

Como representar algebricamente três termos em PA?

Representa-se por (x - r, x, x + r), pois a soma resulta em 3x, eliminando a razão.

Exemplo: a soma de 3 termos em PA é 15; determine o termo do meio

(x - r) + x + (x + r) = 15 => 3x = 15 => x = 5.

Propriedade dos termos equidistantes dos extremos

A soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma do primeiro com o último: a_1 + a_n = a_2 + a_(n-1).

Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA (S_n)

S_n = [(a_1 + a_n) * n] / 2.

Exemplo: calcule a soma dos 20 primeiros termos de (1, 3, 5, ...)

a_20 = 1 + 19 * 2 = 39. S_20 = [(1 + 39) * 20] / 2 = 40 * 10 = 400.

O que é interpolação aritmética?

Inserir k meios aritméticos entre dois extremos a e b, gerando uma PA com n = k + 2 termos.

Fórmula da razão na interpolação de k meios entre a e b

r = (b - a) / (k + 1).

Exemplo: interpole 3 meios aritméticos entre 2 e 14

r = (14 - 2) / (3 + 1) = 12 / 4 = 3. A sequência é (2, 5, 8, 11, 14).

Comportamento gráfico de uma PA

Seus pontos estão sobre uma reta (função afim discreta), onde a razão r representa a inclinação ou coeficiente angular.