Progressão Geométrica (PG)

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Definição de Progressão Geométrica (PG)

Sequência numérica onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante chamada razão (q).

Cálculo da razão (q) em uma PG

A razão q é dada pela divisão de qualquer termo pelo seu antecedente: q = a_(n) / a_(n-1).

Fórmula do termo geral da PG

a_n = a_1 * q^(n - 1), onde a_1 é o primeiro termo, q é a razão e n é o número da posição do termo.

Classificação: PG crescente com a_1 > 0

Ocorre quando a razão q é maior do que 1 (exemplo: 2, 4, 8, 16...).

Classificação: PG decrescente com a_1 > 0

Ocorre quando a razão está no intervalo 0 < q < 1 (exemplo: 16, 8, 4, 2...).

Classificação: PG constante

Ocorre quando a razão q é igual a 1 (exemplo: 5, 5, 5, 5...).

Classificação: PG oscilante ou alternante

Ocorre quando a razão q é negativa (q < 0), fazendo os sinais alternarem (exemplo: 3, -6, 12, -24...).

Classificação: PG quase nula ou estacionária

Ocorre quando o primeiro termo é não nulo e a razão é igual a 0 (exemplo: 4, 0, 0, 0...).

Propriedade da média geométrica entre três termos consecutivos

O termo do meio ao quadrado é igual ao produto dos vizinhos: (a_n)^2 = a_(n-1) * a_(n+1).

Representação prática de 3 termos em PG

Para simplificar cálculos, use as variáveis: (x/q, x, x*q), onde o produto dos termos resulta em x^3.

Representação prática de 4 termos em PG

Pode ser expressa como: (x/y^3, x/y, x*y, x*y^3), onde a razão da PG é y^2.

Representação prática de 5 termos em PG

Use a forma simétrica: (x/q^2, x/q, x, x*q, x*q^2).

Termo geral da PG a partir de um termo intermediário a_k

a_n = a_k * q^(n - k). Útil quando você não tem o primeiro termo da sequência.

Propriedade do produto dos termos equidistantes dos extremos

Em uma PG finita, a_1 * a_n = a_2 * a_(n-1) = a_k * a_(n-k+1).

Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG finita (q ≠ 1)

S_n = a_1 * (q^n - 1) / (q - 1) ou S_n = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q).

Fórmula da soma dos termos de uma PG infinita convergente

S_inf = a_1 / (1 - q), válida estritamente para razões no intervalo -1 < q < 1.

Condição de convergência da soma infinita de uma PG

O módulo da razão deve ser menor do que 1: |q| < 1 (ou seja, -1 < q < 1).

Fórmula do produto dos n primeiros termos de uma PG

P_n = (a_1 * a_n)^(n/2) em módulo, ou |P_n| = sqrt((a_1 * a_n)^n).

Como encontrar a razão conhecendo a_3 = 12 e a_5 = 48?

a_5 = a_3 * q^(5-3) => 48 = 12 * q^2 => q^2 = 4 => q = 2 ou q = -2.

Exemplo: Calcular o 6º termo da PG (3, 6, 12...)

a_1 = 3, q = 2. a_6 = 3 * 2^(6-1) = 3 * 2^5 = 3 * 32 = 96.

Exemplo: Calcular a soma dos 5 primeiros termos de (2, 6, 18...)

a_1 = 2, q = 3. S_5 = 2 * (3^5 - 1) / (3 - 1) = 2 * (243 - 1) / 2 = 242.

Exemplo: Soma infinita da PG (1/2, 1/4, 1/8...)

a_1 = 1/2 e q = 1/2. S = (1/2) / (1 - 1/2) = (1/2) / (1/2) = 1.

Exemplo: Soma infinita da dízima periódica 0,333...

PG: 3/10 + 3/100 + 3/1000... com a_1 = 3/10 e q = 1/10. S = (3/10) / (9/10) = 1/3.

Qual o valor de x para que (x, x+2, x+6) seja uma PG?

(x+2)^2 = x*(x+6) => x^2 + 4x + 4 = x^2 + 6x => 2x = 4 => x = 2.

Interpolação de k meios geométricos entre A e B

A sequência total terá n = k + 2 termos, sendo a_1 = A e a_n = B. Aplica-se: B = A * q^(k+1).

Exemplo: Interpolar 3 meios geométricos entre 2 e 162

n = 5 termos. 162 = 2 * q^4 => q^4 = 81 => q = 3. Meios: 6, 18, 54.

Relação entre PG e juros compostos em provas

O montante a cada período forma uma PG onde a razão é o fator de atualização (1 + i).

Relação entre PG e Função Exponencial

O termo geral a_n = a_1 * q^(n-1) possui crescimento equivalente à função f(x) = C * b^x.

Relação entre PG e Logaritmos

Se os termos (a_1, a_2, ..., a_n) formam uma PG de termos positivos, seus logaritmos formam uma PA.

A razão da PA obtida pelo logaritmo de uma PG

A razão da nova PA formada por log(a_n) é igual a log(q), onde q é a razão da PG.

Dica de prova: PG com número ímpar de termos

O termo central ao quadrado é sempre igual ao produto do primeiro pelo último termo: a_c^2 = a_1 * a_n.

Dica de prova: Expressão a_n / a_m com PG

A divisão de dois termos quaisquer simplifica diretamente para a razão: a_n / a_m = q^(n - m).

Exemplo: Se a_7 / a_4 = 27 em uma PG, qual é q?

q^(7-4) = 27 => q^3 = 27 => q = 3.

Sinal do produto de n termos de uma PG alternante

Depende do número de termos negativos no intervalo: conte os termos com sinal negativo multiplicados.

Diferença conceitual básica entre PA e PG

Na PA soma-se uma constante (r) a cada termo; na PG multiplica-se por uma constante (q).

PG de razão 1: como calcular a soma dos n primeiros termos?

Se q = 1, não use a fórmula fracionária; a soma é simplesmente S_n = n * a_1.

Comportamento de PG com a_1 < 0 e q > 1

A PG é decrescente, pois os termos se tornam negativos de valor absoluto cada vez maior.

Comportamento de PG com a_1 < 0 e 0 < q < 1

A PG é crescente, pois os termos se aproximam de zero pela esquerda (valores aumentam).

Exemplo: Fração geratriz de 0,444... usando PG

a_1 = 4/10, q = 1/10. S = (4/10) / (1 - 1/10) = (4/10) / (9/10) = 4/9.

Problema de meia-vida ou decaimento radioativo e PG

Modela uma PG decrescente cuja razão q é 1/2 a cada período de meia-vida decorrido.

Dica de prova: Soma dos quadrados dos termos de uma PG

Os quadrados dos termos de uma PG com razão q formam uma nova PG com primeiro termo a_1^2 e razão q^2.

Dica de prova: Inversos dos termos de uma PG

Os inversos (1/a_n) de uma PG de razão q formam uma nova PG com primeiro termo 1/a_1 e razão 1/q.

Como resolver sistema com soma e produto de 3 termos em PG?

Adote os termos como x/q, x e x*q. O produto dará x^3, descobrindo x imediatamente.

Exemplo: Três termos em PG com produto 64 e soma 14

(x/q)*x*(xq) = 64 => x=4. Soma: 4/q + 4 + 4q = 14 => termos são 2, 4, 8 ou 8, 4, 2.

O que ocorre se a razão de uma PG for q = 0?

Após o primeiro termo, todos os termos subsequentes tornam-se iguais a 0.

Dica: Como identificar se uma sequência dada é PG?

Verifique se a divisão de termos sucessivos é constante: a_2/a_1 = a_3/a_2 = a_4/a_3 = ... = q.

Exemplo de PG com termos fracionários: (9, 3, 1, 1/3...)

É uma PG decrescente com a_1 = 9 e razão q = 1/3.

Propriedade: a_k em função dos extremos equidistantes

Se k é o ponto médio entre i e j, então (a_k)^2 = a_i * a_j.

Equação da soma da PG reescrita com o último termo a_n

S_n = (a_n * q - a_1) / (q - 1). Útil quando você conhece o último termo e a razão.

Cuidado em provas com logaritmo na PG!

Se q < 0, a PG alterna sinais e seus termos negativos não possuem logaritmo no conjunto dos reais.