Relações Métricas e Equação do 2º Grau

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Forma geral da equação do 2º grau

ax² + bx + c = 0, com a diferente de 0. Aplica-se para modelar trajetórias parabólicas, áreas e problemas de otimização.

Fórmula do Discriminante (Delta)

Δ = b² - 4ac. Mede a quantidade e o tipo de raízes reais da equação quadrática.

Critério de raízes por Delta: Δ > 0

Indica que a equação possui duas raízes reais e distintas.

Critério de raízes por Delta: Δ = 0

Indica que a equação possui uma única raiz real dupla (duas raízes iguais).

Critério de raízes por Delta: Δ < 0

Indica que a equação não possui raízes reais (as raízes pertencem ao conjunto dos complexos).

Fórmula de Bhaskara

x = (-b ± √Δ) / (2a). Utilizada para calcular explicitamente as soluções da equação quadrática.

Soma das raízes (Relações de Girard)

S = x1 + x2 = -b / a. Permite descobrir ou verificar raízes rapidamente sem calcular o discriminante.

Produto das raízes (Relações de Girard)

P = x1 * x2 = c / a. Usado em conjunto com a soma para fatorar ou resolver equações mentais por tentativa.

Forma fatorada da equação do 2º grau

a(x - x1)(x - x2) = 0. Facilita a escrita da equação a partir de suas raízes conhecidas.

Equação incompleta com c = 0

ax² + bx = 0 => x(ax + b) = 0. Resolve-se colocando x em evidência, resultando em x = 0 ou x = -b/a.

Equação incompleta com b = 0

ax² + c = 0 => x = ±√(-c/a). Resolve-se isolando x² e extraindo a raiz quadrada diretamente.

Abscissa do vértice da parábola (Xv)

Xv = -b / (2a). Fornece o ponto de máximo (se a < 0) ou mínimo (se a > 0) e o eixo de simetria.

Ordenada do vértice da parábola (Yv)

Yv = -Δ / (4a). Fornece o valor máximo ou mínimo atingido pela função quadrática.

Concavidade da parábola

Se a > 0, voltada para cima (ponto de mínimo); se a < 0, voltada para baixo (ponto de máximo).

Interseção da parábola com o eixo Y

Ponto (0, c). Obtido fazendo x = 0, mostra onde o gráfico corta o eixo vertical.

Eixo de simetria da parábola

Reta vertical x = -b / (2a). Divide a parábola em duas metades perfeitamente espelhadas.

Completamento de quadrados

Transforma ax² + bx em a(x + b/(2a))² - b²/(4a). Usado para deduzir Bhaskara e na geometria analítica de cônicas.

Equações biquadradas

ax⁴ + bx² + c = 0. Aplica-se a substituição y = x² para reduzi-la a uma equação de segundo grau comum.

Equação irracional redutível ao 2º grau

Isola-se o radical e eleva-se ambos os lados ao quadrado. Requer sempre a verificação de raízes estranhas.

Teorema de Pitágoras

a² = b² + c². Relaciona a hipotenusa (a) aos catetos (b, c) em qualquer triângulo retângulo.

Relação métrica: cateto e projeção (b)

b² = a * m. O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela sua projeção ortogonal.

Relação métrica: cateto e projeção (c)

c² = a * n. O quadrado do outro cateto é igual ao produto da hipotenusa pela sua respectiva projeção.

Relação da altura com as projeções

h² = m * n. O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das projeções dos catetos.

Relação do produto catetos e altura

a * h = b * c. O produto da hipotenusa pela altura relativa é igual ao produto dos dois catetos.

Soma das projeções na hipotenusa

a = m + n. A hipotenusa é a soma das projeções ortogonais dos dois catetos sobre ela.

Inverso do quadrado da altura

1/h² = 1/b² + 1/c². Relaciona a altura aos dois catetos, útil quando a hipotenusa é desconhecida.

Semelhança entre triângulos no retângulo

A altura relativa à hipotenusa divide o triângulo retângulo em dois triângulos semelhantes entre si e ao original.

Teorema de Tales

AB/BC = A'B'/B'C'. Retas paralelas cortadas por transversais determinam segmentos proporcionais.

Teorema da bissetriz interna

b/c = m/n. A bissetriz interna de um ângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.

Teorema da bissetriz externa

b/c = x/(x + a). A bissetriz de um ângulo externo divide externamente o lado oposto na razão dos lados adjacentes.

Potência de ponto: cordas secantes internas

PA * PB = PC * PD. Quando duas cordas se cruzam dentro do círculo, os produtos dos segmentos são iguais.

Potência de ponto: secantes externas

PA * PB = PC * PD. O produto da secante inteira pela parte externa é constante para um ponto externo P.

Potência de ponto: tangente e secante

PT² = PA * PB. O quadrado do segmento tangente é igual ao produto da secante inteira pela parte externa.

Equação de potência de ponto (geral)

Pot(P) = d² - R². Mede a potência de um ponto a uma distância d do centro de um círculo de raio R.

Diagonal do quadrado

d = L√2. Aplicação direta do Teorema de Pitágoras com catetos iguais a L.

Altura do triângulo equilátero

h = (L√3) / 2. Obtida aplicando Pitágoras na metade do triângulo equilátero com hipotenusa L e base L/2.

Área do triângulo equilátero

A = (L²√3) / 4. Aplica-se usando a fórmula base vezes altura dividida por dois com h = (L√3)/2.

Diagonal do paralelepípedo

D = √(a² + b² + c²). Aplicação dupla de Pitágoras em três dimensões para obter a distância máxima interna.

Diagonal do cubo

D = a√3. Aplicação do Teorema de Pitágoras em 3D considerando três arestas iguais a a.

Lei dos Cossenos

a² = b² + c² - 2bc * cos(Â). Generalização de Pitágoras para qualquer triângulo; se  = 90°, vira a² = b² + c².

Lei dos Senos

a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) = 2R. Relaciona lados, ângulos opostos e o raio da circunferência circunscrita.

Relação de Stewart

b²m + c²n = a(x² + mn). Calcula o comprimento de uma ceviana x que divide o lado a em partes m e n.

Comprimento da mediana (Teorema de Apolônio)

2ma² + a²/2 = b² + c². Determina o comprimento da mediana relativa ao lado a em qualquer triângulo.

Fórmula de Heron

A = √[p(p - a)(p - b)(p - c)], onde p = (a+b+c)/2. Calcula a área do triângulo conhecendo apenas seus lados.

Raio do círculo inscrito no triângulo retângulo

r = (b + c - a) / 2. Aplica-se somando os catetos e subtraindo a hipotenusa.

Raio do círculo circunscrito no triângulo retângulo

R = a / 2. A hipotenusa de um triângulo retângulo inscrito é sempre o diâmetro da circunferência.

Teorema de Ptolomeu

AC * BD = AB * CD + BC * AD. Em um quadrilátero inscritível, o produto das diagonais é a soma dos produtos opostos.

Teorema de Pitot

AB + CD = BC + DA. Em um quadrilátero circunscritível, a soma dos lados opostos é igual à dos outros dois.

Triângulo retângulo notável 30°-60°-90°

Lados na razão 1 : √3 : 2. O cateto oposto a 30° vale a metade da hipotenusa e o oposto a 60° vale (hipotenusa*√3)/2.

Triângulo retângulo isósceles 45°-45°-90°

Lados na razão 1 : 1 : √2. Catetos iguais a x e hipotenusa igual a x√2.

Segmento áureo

x² + ax - a² = 0 => x = a(√5 - 1)/2. Aplicação da equação do 2º grau na divisão em média e extrema razão.

Distância entre dois pontos no plano

d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]. Aplicação do Teorema de Pitágoras entre as variações horizontal e vertical.