Sistemas Lineares

Cartões · 52

O que é uma equação linear?

Uma equação polinomial de primeiro grau com uma ou mais variáveis, expressa na forma a1*x1 + a2*x2 + ... + an*xn = b.

O que são coeficientes em uma equação linear?

São os números reais ou complexos que multiplicam cada uma das incógnitas da equação.

O que é o termo independente de uma equação linear?

É o número constante que não multiplica nenhuma variável, posicionado no lado direito da igualdade (b).

O que é uma equação linear homogênea?

É aquela cujo termo independente é igual a zero (exemplo: a1*x1 + a2*x2 = 0).

O que é um sistema linear?

Um conjunto de duas ou mais equações lineares com as mesmas incógnitas, a serem satisfeitas simultaneamente.

O que é a solução de um sistema linear?

Uma sequência ordenada de valores que, substituídos nas respectivas incógnitas, tornam verdadeiras todas as equações.

O que é a solução trivial de um sistema homogêneo?

A solução em que todas as variáveis assumem valor igual a zero simultaneamente.

Classificação: Sistema Possível e Determinado (SPD)

Sistema que admite uma única solução válida para todas as incógnitas.

Classificação: Sistema Possível e Indeterminado (SPI)

Sistema que admite infinitas soluções, possuindo graus de liberdade.

Classificação: Sistema Impossível (SI)

Sistema que não admite nenhuma solução válida; gera uma contradição lógica (ex: 0 = 5).

Interpretação geométrica 2D: SPD

As retas que representam as equações são concorrentes e se cruzam em um único ponto.

Interpretação geométrica 2D: SPI

As retas são coincidentes, sobrepondo-se inteiramente e compartilhando infinitos pontos.

Interpretação geométrica 2D: SI

As retas são paralelas e distintas, nunca se interceptando em nenhum ponto.

Matriz dos coeficientes (ou incompleta)

Matriz formada apenas pelos coeficientes numéricos que multiplicam as incógnitas do sistema.

Matriz ampliada (ou completa)

Matriz que inclui os coeficientes das variáveis e uma coluna final com os termos independentes.

Forma matricial de um sistema linear

Representação expressa como A * X = B, onde A é a matriz dos coeficientes, X o vetor de incógnitas e B o vetor de termos.

O que são sistemas equivalentes?

Sistemas lineares que compartilham exatamente o mesmo conjunto solução.

Operações elementares sobre linhas

Trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo ou somar a uma linha um múltiplo de outra.

Método da Substituição: conceito geral

Isola-se uma incógnita em uma equação e substitui-se a expressão resultante nas demais equações.

Método da Adição: conceito geral

Multiplicam-se as equações por fatores para que, ao somá-las membro a membro, uma incógnita seja eliminada.

Método da Comparação: conceito geral

Isola-se a mesma incógnita em duas equações distintas e igualam-se as expressões resultantes.

Método do Escalonamento (Eliminação Gaussiana)

Uso de operações elementares para transformar a matriz ampliada em uma matriz triangular superior escalonada.

Regra de Cramer: quando pode ser aplicada?

Em sistemas quadrados (nº equações = nº incógnitas) cujo determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero.

Regra de Cramer: cálculo de cada incógnita xi

xi = Di / D, onde D é o determinante da matriz dos coeficientes e Di substitui a coluna i pelos termos independentes.

Teorema de Rouché-Capelli

Um sistema é possível se e somente se o posto da matriz dos coeficientes for igual ao posto da matriz ampliada.

Critério de Rouché-Capelli para SPD

Posto da matriz dos coeficientes = posto da matriz ampliada = número de incógnitas do sistema.

Critério de Rouché-Capelli para SPI

Posto da matriz dos coeficientes = posto da matriz ampliada < número de incógnitas do sistema.

Critério de Rouché-Capelli para SI

Posto da matriz dos coeficientes é menor do que o posto da matriz ampliada.

O que é o grau de indeterminação de um SPI?

Diferença entre o número de incógnitas e o posto do sistema, indicando o número de variáveis livres.

O que é uma variável livre em um SPI?

Incógnita à qual se pode atribuir qualquer valor real arbitrário para determinar as outras variáveis.

Exemplo 2x2: x + y = 7 e x - y = 3. Passo 1 (Adição)

Some as duas equações membro a membro: (x + x) + (y - y) = 7 + 3, resultando em 2x = 10.

Exemplo 2x2: 2x = 10. Passo 2 (Encontrar x)

Divida ambos os lados por 2: x = 10 / 2 = 5.

Exemplo 2x2: x = 5 e x + y = 7. Passo 3 (Encontrar y)

Substitua x por 5 na primeira equação: 5 + y = 7, logo y = 7 - 5 = 2.

Exemplo 2x2: x + y = 7 e x - y = 3. Passo 4 (Conjunto Solução)

O par ordenado solução é S = {(5, 2)}, tratando-se de um sistema possível e determinado (SPD).

Exemplo Substituição: 2x + y = 9 e x - 2y = -3. Passo 1

Isole y na primeira equação: y = 9 - 2x.

Exemplo Substituição: x - 2(9 - 2x) = -3. Passo 2

Distribua o -2: x - 18 + 4x = -3, agrupando termos semelhantes resulta em 5x - 18 = -3.

Exemplo Substituição: 5x - 18 = -3. Passo 3

Some 18 a ambos os lados: 5x = 15; em seguida divida por 5: x = 3.

Exemplo Substituição: y = 9 - 2(3). Passo 4

Calcule: y = 9 - 6 = 3. O conjunto solução é S = {(3, 3)}.

Exemplo Cramer 2x2: 3x + 2y = 8 e 2x - y = 3. Passo 1 (Determinante D)

D = (3 * -1) - (2 * 2) = -3 - 4 = -7. Como D ≠ 0, o sistema é SPD.

Exemplo Cramer 2x2: 3x + 2y = 8 e 2x - y = 3. Passo 2 (Dx)

Substitua a coluna x por termos independentes: Dx = (8 * -1) - (2 * 3) = -8 - 6 = -14.

Exemplo Cramer 2x2: 3x + 2y = 8 e 2x - y = 3. Passo 3 (Dy)

Substitua a coluna y por termos independentes: Dy = (3 * 3) - (8 * 2) = 9 - 16 = -7.

Exemplo Cramer 2x2: Passo 4 (Valores finais de x e y)

x = Dx / D = -14 / -7 = 2; y = Dy / D = -7 / -7 = 1. Solução: S = {(2, 1)}.

Exemplo 3x3 Escalonamento: Equações iniciais

L1: x + y + z = 6; L2: 2x - y + z = 3; L3: x + 2y - z = 2.

Exemplo 3x3 Escalonamento: Passo 1 (Eliminar x em L2 e L3)

Faça L2' = L2 - 2*L1 (obtendo -3y - z = -9) e L3' = L3 - L1 (obtendo y - 2z = -4).

Exemplo 3x3 Escalonamento: Passo 2 (Organizar pivô para y)

Troque L2' com L3' para ter pivô 1: nova L2 é y - 2z = -4 e nova L3 é -3y - z = -9.

Exemplo 3x3 Escalonamento: Passo 3 (Eliminar y em L3)

Faça L3'' = L3 + 3*L2: (-3y + 3y) + (-z - 6z) = -9 - 12, resultando em -7z = -21.

Exemplo 3x3 Escalonamento: Passo 4 (Achar z)

De -7z = -21, divida por -7: z = 3.

Exemplo 3x3 Escalonamento: Passo 5 (Substituição retroativa de y)

Na equação L2 (y - 2z = -4), insira z = 3: y - 2(3) = -4 -> y - 6 = -4 -> y = 2.

Exemplo 3x3 Escalonamento: Passo 6 (Substituição retroativa de x)

Na equação L1 (x + y + z = 6), insira y = 2 e z = 3: x + 2 + 3 = 6 -> x + 5 = 6 -> x = 1.

Exemplo 3x3 Escalonamento: Passo 7 (Solução final)

O conjunto solução do sistema 3x3 escalonado é S = {(1, 2, 3)}.

Identificação de Sistema Impossível no escalonamento

Ocorre quando surge uma linha nula igualada a um termo não nulo, como 0x + 0y + 0z = k (com k ≠ 0).

Identificação de Sistema Indeterminado no escalonamento

Ocorre quando surge uma linha totalmente nula (0 = 0) e há menos equações não nulas do que incógnitas.