Teorema de Tales e Áreas de Triângulos

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Enunciado do Teorema de Tales

Um feixe de retas paralelas determina sobre duas transversais quaisquer segmentos correspondentes proporcionais.

Relação algébrica fundamental do Teorema de Tales

Dadas paralelas cortadas por transversais t1 e t2 com segmentos A, B em t1 e C, D em t2: A / B = C / D.

Aplicação do Teorema de Tales em triângulos

Toda reta paralela a um dos lados de um triângulo que intercepta os outros dois divide-os em segmentos proporcionais.

Teorema da Bissetriz Interna

A bissetriz de um ângulo interno divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes: x/y = b/c.

Teorema da Bissetriz Externa

A bissetriz de um ângulo externo divide o prolongamento do lado oposto proporcionalmente aos lados adjacentes: x/y = b/c.

Fórmula clássica da área de um triângulo

Área = (base * altura) / 2.

Área do triângulo retângulo usando catetos

Área = (cateto 1 * cateto 2) / 2.

Fórmula trigonométrica da área do triângulo

Área = (a * b * sen(theta)) / 2, onde theta é o ângulo formado pelos lados a e b.

Fórmula de Heron para área de triângulo

Área = raiz quadrada de [p * (p - a) * (p - b) * (p - c)], onde p é o semiperímetro.

Definição de semiperímetro (p)

p = (a + b + c) / 2.

Área de um triângulo equilátero de lado L

Área = (L^2 * raiz(3)) / 4.

Altura de um triângulo equilátero de lado L

h = (L * raiz(3)) / 2.

Área do triângulo em função do raio da circunferência inscrita (r)

Área = p * r, onde p é o semiperímetro do triângulo.

Área do triângulo em função do raio da circunferência circunscrita (R)

Área = (a * b * c) / (4 * R).

Segmento médio de um triângulo (base média)

Segmento que une os pontos médios de dois lados; é paralelo ao terceiro lado e mede a sua metade.

Razão de semelhança (k) entre lados

A razão constante entre lados homólogos de triângulos semelhantes: L1 / L2 = k.

Razão entre perímetros de triângulos semelhantes

A razão entre os perímetros é igual à própria razão de semelhança k.

Razão entre áreas de triângulos semelhantes

A razão entre as áreas de figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança: A1 / A2 = k^2.

Triângulos com mesma altura

A razão entre as áreas de dois triângulos com mesma altura é igual à razão entre as suas bases.

Triângulos com mesma base

A razão entre as áreas de dois triângulos com mesma base é igual à razão entre as suas respectivas alturas.

Propriedade da mediana em relação à área

A mediana de um triângulo divide-o em dois outros triângulos de áreas iguais (triângulos equivalentes).

Propriedade do baricentro sobre a divisão de áreas

As três medianas dividem o triângulo original em seis triângulos menores de mesma área.

Baricentro conectado aos três vértices

Os três segmentos que ligam o baricentro aos vértices dividem o triângulo em três partes de mesma área.

Área de triângulo por coordenadas cartesianas

Área = 0,5 * |det|, onde det é o determinante 3x3 com as coordenadas (x, y, 1) dos três vértices.

Condição para feixe de Tales paralelo cortado por transversal perpendicular

Os segmentos sobre a transversal perpendicular medem exatamente as distâncias entre as paralelas.

Consequência de Tales: reta paralela à base dividindo lados ao meio

A área do triângulo menor formado no topo é 1/4 da área do triângulo total original.

Área do trapézio formado ao traçar uma paralela à base do triângulo

Se a paralela divide os lados na metade, a área do trapézio inferior é 3/4 da área total.

Critério AA (Ângulo-Ângulo) de semelhança

Se dois ângulos de um triângulo são congruentes a dois do outro, os triângulos são semelhantes.

Critério LAL (Lado-Ângulo-Lado) de semelhança

Dois lados proporcionais com o ângulo compreendido congruente determinam triângulos semelhantes.

Critério LLL (Lado-Lado-Lado) de semelhança

Três lados homólogos proporcionais determinam triângulos semelhantes.

Propriedade das alturas em triângulos semelhantes

A razão entre as alturas homólogas é igual à razão de semelhança linear k.

Propriedade dos raios inscritos em triângulos semelhantes

A razão entre os inraios (r1 / r2) é igual à razão de semelhança linear k.

Relação métrica no triângulo retângulo: altura e catetos

b * c = a * h, logo Área = (b * c) / 2 = (a * h) / 2.

Definição de figuras equivalentes na geometria

Figuras geométricas que possuem a mesma área, independentemente de suas formas.

Triângulos entre duas retas paralelas

Triângulos que compartilham a mesma base e possuem o terceiro vértice na mesma reta paralela têm áreas iguais.

Teorema de Tales com 3 retas paralelas e segmentos x, 6 e 4, 8

x / 6 = 4 / 8 implica x = 3.

Ponto de interseção das medianas

O baricentro, que divide cada mediana na razão de 2:1 a partir do vértice correspondente.

Área máxima de um triângulo com dois lados fixos a e b

Ocorre quando o ângulo entre eles é de 90 graus (sen(90) = 1), valendo Área = (a * b) / 2.

Fórmula da área de triângulo via produto vetorial (R^3)

Área = 0,5 * ||u x v||, onde u e v são vetores formados por dois lados adjacentes.

Proporção de Tales com segmentos sucessivos a, b, c e d, e, f

a/d = b/e = c/f = (a + b + c)/(d + e + f).

Efeito da duplicação dos lados na área do triângulo

Se todos os lados de um triângulo dobram (k=2), sua área é quadruplicada (k^2 = 4).

Efeito de duplicar apenas a base na área

Se apenas a base dobra e a altura permanece constante, a área dobra.

Efeito de duplicar a base e a altura na área

Se a base e a altura dobram simultaneamente, a área é multiplicada por 4.

Segmentos determinados por paralelas sobre uma reta secante

São diretamente proporcionais aos segmentos correspondentes sobre qualquer outra secante.

Triângulo órtico

Triângulo cujos vértices são os pés das alturas do triângulo original.

Fórmula do semiperímetro para triângulo equilátero

p = (3 * L) / 2.

Área do triângulo equilátero em função da altura h

Área = (h^2 * raiz(3)) / 3.

Inraio (r) de um triângulo retângulo com catetos b, c e hipotenusa a

r = (b + c - a) / 2.

Circunraio (R) de um triângulo retângulo

R = a / 2, onde a é o comprimento da hipotenusa.

Teorema de Menelaus

Relação sobre segmentos cortados por uma reta secante aos três lados de um triângulo: (AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA) = 1.

Teorema de Ceva

Condição para que três cevianas sejam concorrentes: (AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA) = 1.

Área do triângulo via ângulos e circunraio R

Área = 2 * R^2 * sen(A) * sen(B) * sen(C).