Teoria dos Conjuntos

Cartões · 55

Conjunto

Coleção bem definida de objetos distintos considerados como um todo. Notação: letras maiúsculas (A, B, X) e elementos entre chaves {a, b, c}.

Elemento

Objeto individual que pertence a um conjunto. Notação: letras minúsculas (a, b, x).

Relação de pertinência

Indica se um objeto faz parte ou não de um conjunto. Notação: x ∈ A (pertence) ou x ∉ A (não pertence).

Conjunto vazio

Conjunto que não contém nenhum elemento. Notação: ∅ ou {}.

Conjunto unitário

Conjunto formado por exatamente um único elemento. Notação: {x}.

Conjunto universo

Conjunto que contém todos os elementos considerados em um dado contexto de estudo. Notação: U.

Subconjunto (Inclusão)

A é subconjunto de B se todo elemento de A também pertence a B. Notação: A ⊆ B.

Subconjunto próprio

A é subconjunto de B, mas A não é igual a B (existe ao menos um elemento em B fora de A). Notação: A ⊂ B.

Não inclusão

Indica que o conjunto A não é subconjunto de B. Notação: A ⊄ B.

Igualdade de conjuntos

Dois conjuntos são iguais se possuem exatamente os mesmos elementos (A ⊆ B e B ⊆ A). Notação: A = B.

Conjunto das partes (Potência)

Conjunto formado por todos os possíveis subconjuntos de um conjunto A. Notação: P(A) ou ℘(A); possui 2^n elementos se |A| = n.

Cardinalidade de um conjunto finito

Número total de elementos distintos pertencentes a um conjunto A. Notação: |A| ou n(A) ou #(A).

União de conjuntos

Conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B (ou a ambos). Notação: A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}.

Interseção de conjuntos

Conjunto formado por todos os elementos que pertencem simultaneamente a A e a B. Notação: A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}.

Conjuntos disjuntos

Conjuntos que não compartilham nenhum elemento em comum. Notação: A ∩ B = ∅.

Diferença de conjuntos

Conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A mas não pertencem a B. Notação: A \ B ou A - B = {x | x ∈ A e x ∉ B}.

Complementar de um conjunto

Conjunto de elementos do universo U que não pertencem a A (diferença U \ A). Notação: Aᶜ, A' ou ∁_U A.

Diferença simétrica

Conjunto de elementos que pertencem a A ou a B, mas não a ambos. Notação: A Δ B = (A \ B) ∪ (B \ A).

Par ordenado

Par de elementos onde a ordem de apresentação importa. Notação: (a, b) = {{a}, {a, b}}.

Produto cartesiano

Conjunto de todos os pares ordenados formados por elementos do primeiro e do segundo conjunto. Notação: A × B = {(a, b) | a ∈ A e b ∈ B}.

Diagrama de Venn

Representação gráfica de conjuntos e suas relações por meio de curvas fechadas no plano.

Propriedade idempotente da união

A união de um conjunto com ele próprio resulta no próprio conjunto. Notação: A ∪ A = A.

Propriedade idempotente da interseção

A interseção de um conjunto com ele próprio resulta no próprio conjunto. Notação: A ∩ A = A.

Propriedade comutativa da união

A ordem dos conjuntos não altera o resultado da união. Notação: A ∪ B = B ∪ A.

Propriedade comutativa da interseção

A ordem dos conjuntos não altera o resultado da interseção. Notação: A ∩ B = B ∩ A.

Propriedade associativa da união

O agrupamento de uniões não altera o resultado. Notação: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

Propriedade associativa da interseção

O agrupamento de interseções não altera o resultado. Notação: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

Distributividade da união sobre a interseção

A união distribui-se sobre a interseção. Notação: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Distributividade da interseção sobre a união

A interseção distribui-se sobre a união. Notação: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

Primeira Lei de De Morgan

O complementar da união é a interseção dos complementares. Notação: (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ.

Segunda Lei de De Morgan

O complementar da interseção é a união dos complementares. Notação: (A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ.

Lei da dupla complementação

O complementar do complementar de um conjunto é o próprio conjunto. Notação: (Aᶜ)ᶜ = A.

Elemento neutro da união

O conjunto vazio não altera a união com outro conjunto. Notação: A ∪ ∅ = A.

Elemento neutro da interseção

O conjunto universo não altera a interseção com outro conjunto. Notação: A ∩ U = A.

Elemento absorvente da união

A união de qualquer conjunto com o universo é o próprio universo. Notação: A ∪ U = U.

Elemento absorvente da interseção

A interseção de qualquer conjunto com o vazio é o conjunto vazio. Notação: A ∩ ∅ = ∅.

Lei da absorção em conjuntos

Propriedade que simplifica operações compostas de união e interseção. Notação: A ∪ (A ∩ B) = A e A ∩ (A ∪ B) = A.

Princípio da Inclusão-Exclusão (dois conjuntos)

Fórmula para a cardinalidade da união de dois conjuntos finitos. Notação: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|.

Princípio da Inclusão-Exclusão (três conjuntos)

Cardinalidade da união de três conjuntos finitos: |A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| - (|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|) + |A∩B∩C|.

Conjunto dos Números Naturais

Conjunto dos números inteiros não negativos usados para contagem. Notação: ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}.

Conjunto dos Números Inteiros

Conjunto formado pelos números naturais e seus opostos negativos. Notação: ℤ = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.

Conjunto dos Números Racionais

Conjunto formado por todos os quocientes de dois inteiros com denominador não nulo. Notação: ℚ = {a/b | a, b ∈ ℤ e b ≠ 0}.

Conjunto dos Números Irracionais

Conjunto dos números reais que não podem ser escritos como quociente de dois inteiros. Notação: ℝ \ ℚ ou 𝕀.

Conjunto dos Números Reais

União de todos os números racionais com todos os números irracionais. Notação: ℝ = ℚ ∪ 𝕀.

Conjunto dos Números Complexos

Conjunto de números da forma a + bi, onde a, b ∈ ℝ e i² = -1. Notação: ℂ = {a + bi | a, b ∈ ℝ}.

Intervalo aberto

Conjunto de números reais estritamente entre dois extremos a e b. Notação: (a, b) ou ]a, b[ = {x ∈ ℝ | a < x < b}.

Intervalo fechado

Conjunto de números reais entre dois extremos a e b, incluindo ambos. Notação: [a, b] = {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}.

Intervalo semiaberto à direita

Contém o extremo inferior e não contém o extremo superior. Notação: [a, b) ou [a, b[ = {x ∈ ℝ | a ≤ x < b}.

Intervalo semiaberto à esquerda

Não contém o extremo inferior e contém o extremo superior. Notação: (a, b] ou ]a, b] = {x ∈ ℝ | a < x ≤ b}.

Conjunto finito

Conjunto cuja cardinalidade é um número natural n ∈ ℕ.

Conjunto infinito

Conjunto que não é finito e que pode ser colocado em bijeção com um subconjunto próprio de si mesmo.

Conjunto enumerável

Conjunto infinito que possui uma bijeção com o conjunto dos números naturais ℕ. Notação de cardinalidade: ℵ₀ (aleph-zero).

Conjunto não enumerável

Conjunto infinito com cardinalidade estritamente maior que ℵ₀ (exemplo: os reais ℝ). Notação: 𝔠 ou 2^(ℵ₀).

Partição de um conjunto

Coleção de subconjuntos não vazios de A dois a dois disjuntos cuja união é o próprio conjunto A. Notação: {A_i} tal que ∪A_i = A e A_i ∩ A_j = ∅ (i ≠ j).

Família de conjuntos

Conjunto cujos próprios elementos são outros conjuntos. Notação: {A_i | i ∈ I}, onde I é um conjunto de índices.