Teoria dos Conjuntos

Cartões · 53

Conjunto

Coleção bem definida de objetos distintos, chamados de elementos do conjunto. Notação comum: letras maiúsculas A, B, X.

Elemento

Objeto individual que pertence a um conjunto. Notação comum: letras minúsculas a, b, x.

Relação de Pertinência

Indica que um elemento faz parte de um conjunto. Símbolo: x ∈ A (x pertence a A) ou x ∉ A (x não pertence a A).

Conjunto Vazio

Conjunto que não contém nenhum elemento. Notação: ∅ ou {}. Formalmente: ∀x, x ∉ ∅.

Conjunto Universo

Conjunto que contém todos os elementos sob consideração em um dado contexto. Notação: U.

Conjunto Unitário

Conjunto constituído por exatamente um elemento. Notação: {x}.

Subconjunto (Inclusão)

A é subconjunto de B se todo elemento de A também pertence a B. Notação: A ⊆ B. Formalmente: ∀x (x ∈ A → x ∈ B).

Subconjunto Próprio

A é subconjunto próprio de B se A ⊆ B e A ≠ B. Notação: A ⊂ B.

Não Inclusão

Indica que existe ao menos um elemento de A que não pertence a B. Notação: A ⊄ B. Formalmente: ∃x (x ∈ A ∧ x ∉ B).

Igualdade de Conjuntos

Dois conjuntos são iguais se e somente se possuem os mesmos elementos. Notação: A = B ↔ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A).

Conjunto das Partes (Conjunto Potência)

Conjunto de todos os subconjuntos de A. Notação: P(A) ou ℘(A) = {X | X ⊆ A}. Se |A| = n, então |P(A)| = 2^n.

Cardinalidade de um Conjunto Finito

Número de elementos distintos contidos no conjunto. Notação: |A| ou n(A) ou #(A).

União de Conjuntos

Conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B (ou a ambos). Notação: A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.

Interseção de Conjuntos

Conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B. Notação: A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.

Conjuntos Disjuntos

Dois conjuntos cuja interseção é vazia, isto é, não possuem elementos comuns. Notação: A ∩ B = ∅.

Diferença de Conjuntos

Elementos que pertencem a A mas não pertencem a B. Notação: A \ B ou A - B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}.

Complementar Relativo

Diferença entre o conjunto A e o conjunto B, frequentemente escrito como C_B(A) = B \ A quando A ⊆ B.

Complementar Absoluto

Elementos do universo U que não pertencem a A. Notação: A^c, A' ou Ā = {x ∈ U | x ∉ A} = U \ A.

Diferença Simétrica

Elementos que pertencem a A ou a B, mas não a ambos. Notação: A Δ B = (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B).

Par Ordenado

Estrutura de dois objetos onde a ordem importa. Definição formal de Kuratowski: (a, b) = {{a}, {a, b}}.

Produto Cartesiano

Conjunto de todos os pares ordenados onde o primeiro termo é de A e o segundo é de B. Notação: A × B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}.

Cardinalidade do Produto Cartesiano

Para conjuntos finitos A e B, o tamanho do produto cartesiano é o produto dos tamanhos: |A × B| = |A| · |B|.

Idempotência da União

Unir um conjunto consigo mesmo resulta no próprio conjunto. Expressão: A ∪ A = A.

Idempotência da Interseção

Interseccionar um conjunto consigo mesmo resulta no próprio conjunto. Expressão: A ∩ A = A.

Comutatividade da União

A ordem dos conjuntos não altera o resultado da união. Expressão: A ∪ B = B ∪ A.

Comutatividade da Interseção

A ordem dos conjuntos não altera o resultado da interseção. Expressão: A ∩ B = B ∩ A.

Associatividade da União

O agrupamento de operações de união não altera o resultado. Expressão: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

Associatividade da Interseção

O agrupamento de operações de interseção não altera o resultado. Expressão: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

Distributividade da União sobre a Interseção

A união distribui sobre a interseção. Expressão: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Distributividade da Interseção sobre a União

A interseção distribui sobre a união. Expressão: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

Lei de De Morgan (Complementar da União)

O complementar da união é a interseção dos complementares. Expressão: (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c.

Lei de De Morgan (Complementar da Interseção)

O complementar da interseção é a união dos complementares. Expressão: (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c.

Elemento Neutro da União

A união de qualquer conjunto com o conjunto vazio é o próprio conjunto. Expressão: A ∪ ∅ = A.

Elemento Neutro da Interseção

A interseção de qualquer conjunto com o universo é o próprio conjunto. Expressão: A ∩ U = A.

Elemento Absorvente da União

A união de qualquer conjunto com o universo é o próprio universo. Expressão: A ∪ U = U.

Elemento Absorvente da Interseção

A interseção de qualquer conjunto com o conjunto vazio é o conjunto vazio. Expressão: A ∩ ∅ = ∅.

Lei da Involução (Duplo Complementar)

O complementar do complementar de um conjunto é o próprio conjunto. Expressão: (A^c)^c = A.

Lei da Absorção em Conjuntos

Identidades que simplificam expressões mistas de união e interseção: A ∪ (A ∩ B) = A e A ∩ (A ∪ B) = A.

Propriedade dos Complementares (União)

A união de um conjunto com seu complementar forma o conjunto universo. Expressão: A ∪ A^c = U.

Propriedade dos Complementares (Interseção)

A interseção de um conjunto com seu complementar é o conjunto vazio. Expressão: A ∩ A^c = ∅.

Princípio da Inclusão-Exclusão (2 conjuntos)

Fórmula para a cardinalidade da união de dois conjuntos: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|.

Princípio da Inclusão-Exclusão (3 conjuntos)

Cálculo da união: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Diagrama de Venn

Representação gráfica de conjuntos por meio de regiões fechadas no plano ilustrando relações e operações lógicas.

Partição de um Conjunto

Família de subconjuntos não vazios de A, disjuntos dois a dois, cuja união é o conjunto A. A = ⋃ A_i e A_i ∩ A_j = ∅.

Relação Binária

Subconjunto do produto cartesiano de dois conjuntos. R ⊆ A × B. Diz-se que aRb se (a, b) ∈ R.

Conjunto Enumerável

Conjunto que possui a mesma cardinalidade que o conjunto dos números naturais N, denotado por ℵ₀ (aleph-zero).

Conjunto Finito

Conjunto cuja cardinalidade é um número natural n ∈ N, existindo bijeção com {1, 2, ..., n} ou sendo vazio.

Conjunto Infinito

Conjunto que pode ser colocado em bijeção com um subconjunto próprio de si mesmo (definição de Dedekind).

União Arbitrária (Generalizada)

União de uma família de conjuntos {A_i | i ∈ I}. Notação: ⋃_{i ∈ I} A_i = {x | ∃i ∈ I (x ∈ A_i)}.

Interseção Arbitrária (Generalizada)

Interseção de uma família de conjuntos {A_i | i ∈ I}. Notação: ⋂_{i ∈ I} A_i = {x | ∀i ∈ I (x ∈ A_i)}.

Transitividade da Inclusão

Se um conjunto está contido em um segundo, e este em um terceiro, o primeiro está no terceiro: (A ⊆ B ∧ B ⊆ C) → A ⊆ C.

Reflexividade da Inclusão

Todo conjunto é subconjunto de si mesmo. Expressão: ∀A, A ⊆ A.

Antissimetria da Inclusão

Se dois conjuntos estão contidos mutuamente um no outro, são iguais: (A ⊆ B ∧ B ⊆ A) → A = B.