Trigonometria Básica

Cartões · 52

Seno no triângulo retângulo: sen(θ) = Cateto Oposto / Hipotenusa

Em um triângulo com cateto oposto 3 e hipotenusa 5: sen(θ) = 3 / 5 = 0,6.

Cosseno no triângulo retângulo: cos(θ) = Cateto Adjacente / Hipotenusa

Em um triângulo com cateto adjacente 4 e hipotenusa 5: cos(θ) = 4 / 5 = 0,8.

Tangente no triângulo retângulo: tg(θ) = Cateto Oposto / Cateto Adjacente

Se o cateto oposto mede 6 e o cateto adjacente mede 8: tg(θ) = 6 / 8 = 0,75.

Identidade fundamental: sen²(θ) + cos²(θ) = 1

Se sen(θ) = 3/5: (3/5)² + cos²(θ) = 1; 9/25 + cos²(θ) = 1; cos²(θ) = 16/25, logo cos(θ) = 4/5.

Definição de Tangente: tg(θ) = sen(θ) / cos(θ)

Se sen(θ) = 0,6 e cos(θ) = 0,8: tg(θ) = 0,6 / 0,8 = 3/4 = 0,75.

Secante: sec(θ) = 1 / cos(θ)

Se cos(θ) = 0,5: sec(θ) = 1 / 0,5 = 2.

Cossecante: cossec(θ) = 1 / sen(θ)

Se sen(θ) = 0,25: cossec(θ) = 1 / 0,25 = 4.

Cotangente: cotg(θ) = 1 / tg(θ) = cos(θ) / sen(θ)

Se tg(θ) = 4/3: cotg(θ) = 1 / (4/3) = 3/4 = 0,75.

Identidade secante-tangente: 1 + tg²(θ) = sec²(θ)

Se tg(θ) = 1: 1 + (1)² = sec²(θ); sec²(θ) = 2, logo sec(θ) = √2.

Identidade cossecante-cotangente: 1 + cotg²(θ) = cossec²(θ)

Se cotg(θ) = √3: 1 + (√3)² = cossec²(θ); 1 + 3 = 4, logo cossec(θ) = 2.

Conversão de graus para radianos: rad = graus × (π / 180°)

Converter 60°: 60 × (π / 180) = π / 3 radianos.

Conversão de radianos para graus: graus = rad × (180° / π)

Converter π/4 rad: (π/4) × (180 / π) = 180 / 4 = 45°.

Valores notáveis de 30° (π/6)

sen(30°) = 1/2 = 0,5; cos(30°) = √3/2 ≈ 0,866; tg(30°) = √3/3 ≈ 0,577.

Valores notáveis de 45° (π/4)

sen(45°) = √2/2 ≈ 0,707; cos(45°) = √2/2 ≈ 0,707; tg(45°) = 1.

Valores notáveis de 60° (π/3)

sen(60°) = √3/2 ≈ 0,866; cos(60°) = 1/2 = 0,5; tg(60°) = √3 ≈ 1,732.

Seno da soma: sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)

sen(75°) = sen(45°+30°) = (√2/2)(√3/2) + (1/2)(√2/2) = (√6 + √2) / 4.

Seno da diferença: sen(a - b) = sen(a)cos(b) - sen(b)cos(a)

sen(15°) = sen(45°-30°) = (√2/2)(√3/2) - (1/2)(√2/2) = (√6 - √2) / 4.

Cosseno da soma: cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)

cos(75°) = cos(45°+30°) = (√2/2)(√3/2) - (√2/2)(1/2) = (√6 - √2) / 4.

Cosseno da diferença: cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)

cos(15°) = cos(45°-30°) = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2) / 4.

Tangente da soma: tg(a + b) = [tg(a) + tg(b)] / [1 - tg(a)tg(b)]

tg(45° + 45°) = [1 + 1] / [1 - 1×1] = 2 / 0 = indefinido (pois tg(90°) não existe).

Tangente da diferença: tg(a - b) = [tg(a) - tg(b)] / [1 + tg(a)tg(b)]

tg(15°) = tg(45°-30°) = [1 - (√3/3)] / [1 + 1×(√3/3)] = 2 - √3 ≈ 0,268.

Arco duplo para seno: sen(2θ) = 2 sen(θ) cos(θ)

Se sen(θ) = 3/5 e cos(θ) = 4/5: sen(2θ) = 2 × (3/5) × (4/5) = 24/25 = 0,96.

Arco duplo para cosseno: cos(2θ) = cos²(θ) - sen²(θ)

Se cos(θ) = 4/5 e sen(θ) = 3/5: cos(2θ) = (16/25) - (9/25) = 7/25 = 0,28.

Arco duplo para cosseno em função apenas do seno: cos(2θ) = 1 - 2 sen²(θ)

Se sen(θ) = 1/2: cos(2θ) = 1 - 2(1/4) = 1 - 1/2 = 1/2.

Arco duplo para cosseno em função apenas do cosseno: cos(2θ) = 2 cos²(θ) - 1

Se cos(θ) = √3/2: cos(2θ) = 2(3/4) - 1 = 6/4 - 1 = 1/2.

Arco duplo para tangente: tg(2θ) = 2 tg(θ) / [1 - tg²(θ)]

Se tg(θ) = 1/3: tg(2θ) = 2(1/3) / [1 - 1/9] = (2/3) / (8/9) = 6/8 = 3/4.

Arco metade para seno: sen(θ/2) = ±√[(1 - cos(θ)) / 2]

Para θ = 60°: sen(30°) = √[(1 - cos(60°)) / 2] = √[(1 - 1/2) / 2] = √(1/4) = 1/2.

Arco metade para cosseno: cos(θ/2) = ±√[(1 + cos(θ)) / 2]

Para θ = 60°: cos(30°) = √[(1 + 1/2) / 2] = √(3/4) = √3 / 2.

Lei dos Senos: a / sen(A) = b / sen(B) = c / sen(C) = 2R

Em triângulo com a=10, A=30° e B=45°: 10/sen(30°) = b/sen(45°) => 10/0,5 = b/(√2/2) => b = 10√2.

Lei dos Cossenos: c² = a² + b² - 2ab cos(C)

Lados a=3, b=4 e ângulo C=60°: c² = 9 + 16 - 2(3)(4)(0,5) = 25 - 12 = 13 => c = √13.

Área do triângulo via seno: Área = (a × b × sen(C)) / 2

Lados a=6, b=8 e ângulo C=30°: Área = (6 × 8 × sen(30°)) / 2 = 48 × 0,5 / 2 = 12.

Redução ao primeiro quadrante: sen(180° - θ) = sen(θ)

sen(150°) = sen(180° - 30°) = sen(30°) = 1/2.

Redução ao primeiro quadrante: cos(180° - θ) = -cos(θ)

cos(120°) = cos(180° - 60°) = -cos(60°) = -1/2.

Redução ao primeiro quadrante: tg(180° - θ) = -tg(θ)

tg(135°) = tg(180° - 45°) = -tg(45°) = -1.

Sinais no 2º quadrante (90° a 180°)

sen(120°) > 0 (+√3/2), cos(120°) < 0 (-1/2), tg(120°) < 0 (-√3).

Sinais no 3º quadrante (180° a 270°)

sen(210°) < 0 (-1/2), cos(210°) < 0 (-√3/2), tg(210°) > 0 (+√3/3).

Sinais no 4º quadrante (270° a 360°)

sen(300°) < 0 (-√3/2), cos(300°) > 0 (+1/2), tg(300°) < 0 (-√3).

Paridade da função Cosseno: cos(-θ) = cos(θ)

cos(-60°) = cos(60°) = 1/2.

Paridade da função Seno: sen(-θ) = -sen(θ)

sen(-30°) = -sen(30°) = -1/2.

Paridade da função Tangente: tg(-θ) = -tg(θ)

tg(-45°) = -tg(45°) = -1.

Ângulos complementares: sen(90° - θ) = cos(θ)

sen(70°) = sen(90° - 20°) = cos(20°).

Ângulos complementares: cos(90° - θ) = sen(θ)

cos(60°) = cos(90° - 30°) = sen(30°) = 1/2.

Ângulos complementares: tg(90° - θ) = cotg(θ)

tg(60°) = cotg(30°) = √3.

Comprimento de arco: s = r × θ (θ em radianos)

Raio r = 5 cm e ângulo θ = 2 rad: comprimento s = 5 × 2 = 10 cm.

Área de setor circular: A = (θ × r²) / 2 (θ em radianos)

Raio r = 4 cm e ângulo θ = π/2 rad: A = ((π/2) × 16) / 2 = 4π cm² ≈ 12,56 cm².

Período da função sen(kx): T = 2π / k

Para f(x) = sen(4x), k = 4: período T = 2π / 4 = π / 2.

Período da função cos(kx): T = 2π / k

Para f(x) = cos(πx), k = π: período T = 2π / π = 2.

Período da função tg(kx): T = π / k

Para f(x) = tg(2x), k = 2: período T = π / 2.

Transformação em produto (Soma de senos): sen(p) + sen(q)

sen(50°) + sen(10°) = 2 sen((50+10)/2) cos((50-10)/2) = 2 sen(30°) cos(20°) = cos(20°).

Transformação em produto (Diferença de cossenos): cos(p) - cos(q)

cos(80°) - cos(20°) = -2 sen((80+20)/2) sen((80-20)/2) = -2 sen(50°) sen(30°) = -sen(50°).

Equação fundamental sen(x) = 0

sen(x) = 0 implica x = kπ, com k pertencente aos inteiros (ex.: 0, π, 2π).

Equação fundamental cos(x) = 0

cos(x) = 0 implica x = π/2 + kπ, com k pertencente aos inteiros (ex.: π/2, 3π/2).