Equações Exponenciais 2

Cartões · 52

a^x = a^y (com a > 0 e a ≠ 1)

Propriedade injetiva da potência: bases iguais implicam expoentes iguais (x = y).

2^x = 16

Fatoração da base em potências de mesma base: 16 = 2^4, logo x = 4.

3^x = 1

Propriedade do expoente zero: a^0 = 1 para qualquer base não nula, logo x = 0.

5^x = 1/25

Propriedade do expoente negativo: 1/a^n = a^(-n), transformando 1/25 em 5^(-2).

2^(x+1) = 8

Igualdade de bases após decompor 8 em 2^3, igualando x + 1 = 3.

4^x = 8

Redução a uma base comum: expressar 4 como 2^2 e 8 como 2^3, obtendo 2^(2x) = 2^3.

9^(x-1) = 27

Conversão para base comum 3: (3^2)^(x-1) = 3^3, aplicando potência de potência.

(a^m)^n

Potência de potência: multiplicam-se os expoentes, resultando em a^(m * n).

a^m * a^n

Produto de potências de mesma base: conserva-se a base e somam-se os expoentes (a^(m+n)).

a^m / a^n

Divisão de potências de mesma base: conserva-se a base e subtraem-se os expoentes (a^(m-n)).

2^(x+2) + 2^x = 20

Fatoração por termo comum em evidência: 2^x * (2^2 + 1) = 20.

3^(x+1) - 3^(x-1) = 24

Colocar 3^x em evidência decompondo as potências: 3^x * (3^1 - 3^(-1)) = 24.

4^x - 5 * 2^x + 4 = 0

Mudança de variável (incógnita auxiliar): definir y = 2^x, transformando em y^2 - 5y + 4 = 0.

9^x - 4 * 3^x + 3 = 0

Substituição de variável: expressar 9^x como (3^x)^2 e definir y = 3^x para obter equação do 2º grau.

2^(2x) - 3 * 2^x - 4 = 0

Equação quadrática auxiliar com y = 2^x, descartando raízes y ≤ 0 pois a função exponencial é estritamente positiva.

10^x = 0,001

Conversão de decimal em fração ou potência de dez: 0,001 = 10^(-3), logo x = -3.

sqrt(a)

Propriedade do expoente fracionário: a raiz n-ésima de a^m é escrita como a^(m/n).

2^x = sqrt(2)

Transformação de radical em expoente fracionário: sqrt(2) = 2^(1/2).

3^x = cbrt(9)

Expoente racional e fatoração: cbrt(3^2) = 3^(2/3), logo x = 2/3.

8^(x/3) = 4

Redução para base 2 e simplificação de frações no expoente: (2^3)^(x/3) = 2^x = 2^2.

(1/2)^x = 8

Inversão da base com troca de sinal do expoente: (1/2)^x = 2^(-x) e 8 = 2^3.

(2/3)^x = 9/4

Inversão de fração com expoente negativo: 9/4 = (3/2)^2 = (2/3)^(-2).

5^(x^2 - 4) = 1

Expoente nulo: a^f(x) = 1 implica f(x) = 0, resolvendo a quadrática x^2 - 4 = 0.

7^(x^2 - 3x) = 7^4

Igualdade dos expoentes f(x) = g(x) gerando equação do segundo grau: x^2 - 3x - 4 = 0.

2^(x^2 - 5x + 6) = 1

Igualar o expoente a zero: x^2 - 5x + 6 = 0, obtendo x = 2 ou x = 3.

2^x = 3

Aplicação de logaritmos em ambos os lados quando as bases não podem ser igualadas: x = log2(3).

10^x = 50

Uso de logaritmo decimal em ambos os membros: x = log(50).

e^x = 7

Aplicação de logaritmo natural (ln) em ambos os lados: x = ln(7).

a^x = b (com a, b > 0 e a ≠ 1)

Definição fundamental de logaritmo: x = log_a(b).

3^(2x - 1) = 5

Aplicação de logaritmos e isolamento algébrico: (2x - 1) * log(3) = log(5).

2^x * 5^x = 100

Propriedade da potência de um produto: a^x * b^x = (a * b)^x, gerando 10^x = 10^2.

6^x / 2^x = 27

Propriedade do quociente de potências de mesmo expoente: (a/b)^x = 3^x = 3^3.

4^(x+1) = 16^(x-1)

Conversão para base comum 4 ou 2: 4^(x+1) = 4^(2(x-1)).

(0,5)^x = 16

Transformação de decimal em fração irredutível: 0,5 = 1/2 = 2^(-1), levando a 2^(-x) = 2^4.

(0,2)^x = 25

Conversão de decimal para fração: 0,2 = 1/5 = 5^(-1), logo 5^(-x) = 5^2.

(0,25)^x = 8

Conversão fracionária: 0,25 = 1/4 = 2^(-2), gerando 2^(-2x) = 2^3.

27^x = 1/9

Base comum 3: 3^(3x) = 3^(-2), igualando os expoentes 3x = -2.

5^(x+1) + 5^(x+2) = 150

Fatoração por termo comum: 5^x * (5^1 + 5^2) = 5^x * 30 = 150.

2^(x-1) + 2^x + 2^(x+1) = 7

Evidenciar o menor expoente 2^(x-1): 2^(x-1) * (1 + 2 + 4) = 7.

3^(x-3) = 1/81

Potência com expoente negativo e mesma base: 1/81 = 3^(-4), logo x - 3 = -4.

cbrt(2^x) = 4

Conversão de raiz cúbica para expoente fracionário x/3 e igualdade na base 2: 2^(x/3) = 2^2.

sqrt(3^(x+1)) = 9

Transformação de raiz quadrada em divisão por 2 no expoente: 3^((x+1)/2) = 3^2.

x^(x-2) = 1

Análise dos casos possíveis: expoente nulo com base não nula, base igual a 1, ou base -1 com expoente par.

Condição de existência de a^x

A base a deve ser real, positiva e diferente de 1 para garantir função bijetora contínua.

Por que a base não pode ser negativa em a^x?

Bases negativas não admitem expoentes fracionários com denominadores pares no conjunto dos reais.

Por que a base não pode ser 1 em a^x?

Se a = 1, 1^x = 1 para todo x, tornando a função constante e não injetiva.

2^(2x+1) - 9 * 2^x + 4 = 0

Decomposição 2^(2x+1) = 2 * (2^x)^2 seguida da troca de variável y = 2^x.

3^(2x) + 3^x - 12 = 0

Substituição y = 3^x gerando equação quadrática y^2 + y - 12 = 0.

5^x = -25

Impossibilidade no conjunto dos reais: a imagem da função exponencial real a^x é estritamente positiva (S = vazio).

4^x * 8^(x-1) = 1/2

Unificação para a base 2: 2^(2x) * 2^(3x-3) = 2^(-1) e soma dos expoentes.

2^(x) = 5^(x)

Divisão por 5^x gerando (2/5)^x = 1, cuja única solução real é o expoente zero (x = 0).

2^(3x - 1) = 16^(x/2)

Substituição 16 = 2^4, simplificando o expoente para 4*(x/2) = 2x e igualando a 3x - 1.