Funções Exponenciais e Logarítmicas

Cartões · 54

Definição de função exponencial

Função dada por f(x) = a^x, com base a real, positiva e diferente de 1 (a > 0 e a ≠ 1).

Domínio e contradomínio da função exponencial f(x) = a^x

Domínio: todos os reais (R). Imagem: números reais estritamente positivos (R+*).

Condição de crescimento da função exponencial f(x) = a^x

É estritamente crescente quando a base é maior que 1 (a > 1).

Condição de decrescimento da função exponencial f(x) = a^x

É estritamente decrescente quando a base está entre 0 e 1 (0 < a < 1).

Interseção do gráfico de f(x) = a^x com o eixo y

Intercepta sempre no ponto (0, 1), pois qualquer base a elevada a zero resulta em 1 (a^0 = 1).

Interseção do gráfico de f(x) = a^x com o eixo x

Não intercepta o eixo x, pois a^x nunca é igual a zero para nenhum x real.

Assíntota do gráfico de f(x) = a^x

O eixo x (reta horizontal y = 0) atua como assíntota horizontal.

Propriedade da potência: produto de mesma base (a^m * a^n)

Conserva a base e soma os expoentes: a^(m + n).

Propriedade da potência: quociente de mesma base (a^m / a^n)

Conserva a base e subtrai os expoentes: a^(m - n).

Propriedade da potência: potência de potência ((a^m)^n)

Conserva a base e multiplica os expoentes: a^(m * n).

Propriedade da potência com expoente negativo (a^(-n))

Inverte a base: a^(-n) = 1 / (a^n), para a diferente de zero.

Propriedade da potência com expoente fracionário (a^(m/n))

Converte em raiz: a^(m/n) = raiz enésima de a elevado a m (raiz n de a^m).

O que é o número de Euler (e)?

Constante irracional aproximadamente igual a 2,71828, usada como base da exponencial natural f(x) = e^x.

Resolução de equação exponencial básica: a^x = a^y

Se as bases forem iguais e válidas, igualam-se diretamente os expoentes: x = y.

Inequação exponencial com base a > 1 (a^x > a^y)

Mantém-se o sentido da desigualdade entre os expoentes: x > y.

Inequação exponencial com base 0 < a < 1 (a^x > a^y)

Inverte-se o sentido da desigualdade entre os expoentes: x < y.

Exemplo de equação exponencial resolvida por mudança de variável: 4^x - 3*(2^x) + 2 = 0

Substitui-se y = 2^x, transformando em y² - 3y + 2 = 0, encontrando raízes y=1 e y=2, logo x=0 e x=1.

Definição formal de logaritmo (log_a(b) = x)

log_a(b) = x se e somente se a^x = b, onde 'a' é a base e 'b' é o logaritmando.

Condições de existência do logaritmo log_a(b)

O logaritmando deve ser positivo (b > 0) e a base deve ser positiva e diferente de 1 (a > 0 e a ≠ 1).

Definição de função logarítmica

Função f(x) = log_a(x), com a > 0, a ≠ 1 e x > 0.

Domínio e contradomínio da função logarítmica f(x) = log_a(x)

Domínio: reais estritamente positivos (R+*). Imagem: conjunto dos números reais (R).

Relação inversa entre função exponencial e logarítmica

São funções inversas: f(x) = a^x e g(x) = log_a(x). Seus gráficos são simétricos pela reta y = x.

Comportamento da função logarítmica quando a > 1

A função f(x) = log_a(x) é estritamente crescente.

Comportamento da função logarítmica quando 0 < a < 1

A função f(x) = log_a(x) é estritamente decrescente.

Interseção do gráfico de f(x) = log_a(x) com o eixo x

Intercepta sempre no ponto (1, 0), pois log_a(1) = 0 para qualquer base válida.

Interseção do gráfico de f(x) = log_a(x) com o eixo y

Não intercepta o eixo y, pois x deve ser estritamente maior que zero (x > 0).

Assíntota do gráfico de f(x) = log_a(x)

O eixo y (reta vertical x = 0) atua como assíntota vertical.

Logaritmo de 1 em qualquer base (log_a(1))

log_a(1) = 0, pois a^0 = 1.

Logaritmo da base na própria base (log_a(a))

log_a(a) = 1, pois a^1 = a.

Propriedade da potência no logaritmando: log_a(a^k)

log_a(a^k) = k.

Propriedade fundamental da base elevada ao logaritmo: a^(log_a(b))

a^(log_a(b)) = b.

Propriedade do produto de logaritmos: log_a(b * c)

log_a(b * c) = log_a(b) + log_a(c).

Propriedade do quociente de logaritmos: log_a(b / c)

log_a(b / c) = log_a(b) - log_a(c).

Propriedade da potência no logaritmo (regra do tombo): log_a(b^k)

log_a(b^k) = k * log_a(b).

Propriedade do expoente na base do logaritmo: log_(a^k)(b)

log_(a^k)(b) = (1/k) * log_a(b).

Fórmula da mudança de base para logaritmos

log_a(b) = log_c(b) / log_c(a), para qualquer base auxiliar c válida.

Inversão entre base e logaritmando

log_a(b) = 1 / log_b(a).

O que é logaritmo decimal ou de Briggs?

Logaritmo na base 10, habitualmente grafado apenas como log(x) sem indicar a base.

O que é logaritmo natural ou neperiano?

Logaritmo que possui a base irracional de Euler (e), representado pelo símbolo ln(x).

Propriedade: ln(e) e ln(1)

ln(e) = 1 e ln(1) = 0.

Resolução de equação logarítmica básica: log_a(x) = log_a(y)

Igualam-se os logaritmandos: x = y, devendo satisfazer x > 0 e y > 0.

Inequação logarítmica com base a > 1: log_a(x) > log_a(y)

Mantém-se o sinal da desigualdade: x > y > 0.

Inequação logarítmica com base 0 < a < 1: log_a(x) > log_a(y)

Inverte-se o sinal da desigualdade: 0 < x < y.

Exemplo: Calcular log_2(32)

log_2(32) = 5, pois 2^5 = 32.

Exemplo: Calcular log_3(1/9)

log_3(1/9) = -2, pois 3^(-2) = 1/(3^2) = 1/9.

Exemplo: Resolver 2^x = 10 aplicando logaritmos

Aplica-se log em ambos os lados: x * log(2) = log(10) -> x = 1 / log(2).

Aplicação de função exponencial: fórmula de juros compostos

M = C * (1 + i)^t, onde o montante M cresce exponencialmente com o tempo t.

Aplicação de função logarítmica: escala Richter de terremotos

Mede a magnitude M = (2/3) * log(E / E0), onde cada unidade representa aumento de cerca de 31,6x na energia.

Aplicação de logaritmo: cálculo de pH químico

pH = -log[H+], representando a concentração hidrogeniônica em escala logarítmica.

Comportamento assimptótico de f(x) = 2^x quando x tende a menos infinito

f(x) tende a zero pelo lado positivo (2^x -> 0+).

Comportamento assimptótico de f(x) = log_2(x) quando x tende a zero pela direita

f(x) tende a menos infinito (log_2(x) -> -infinito).

Deslocamento vertical do gráfico exponencial: f(x) = a^x + k

Desloca o gráfico k unidades para cima (se k>0) ou para baixo (se k<0); assíntota passa a ser y = k.

Deslocamento horizontal do gráfico exponencial: f(x) = a^(x - h)

Desloca a curva h unidades para a direita (se h>0) ou para a esquerda (se h<0).

Deslocamento horizontal da função logarítmica: f(x) = log_a(x - h)

Desloca a curva h unidades horizontalmente; nova assíntota vertical é x = h e domínio x > h.