Fundamentos de Logaritmos

Cartões · 52

Definição fundamental do logaritmo

log_b(a) = x se, e somente se, b^x = a (com a > 0, b > 0 e b ≠ 1).

Condição de existência da base b

A base b deve ser estritamente positiva e diferente de um: b > 0 e b ≠ 1.

Condição de existência do logaritmando a

O logaritmando a deve ser estritamente positivo: a > 0.

Logaritmo da unidade: log_b(1)

log_b(1) = 0, pois qualquer base b elevada a zero resulta em 1.

Logaritmo da própria base: log_b(b)

log_b(b) = 1, pois b elevado à potência 1 é igual a b.

Logaritmo de uma potência da base: log_b(b^k)

log_b(b^k) = k, pois a base elevada ao expoente resulta diretamente em b^k.

Exponenciação com logaritmo no expoente: b^(log_b(a))

b^(log_b(a)) = a, consequência direta da definição do logaritmo.

Logaritmo do produto: log_b(x · y)

log_b(x · y) = log_b(x) + log_b(y), para x > 0 e y > 0.

Logaritmo do quociente: log_b(x / y)

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y), para x > 0 e y > 0.

Logaritmo da potência: log_b(x^k)

log_b(x^k) = k · log_b(x), para x > 0 (regra do tombo).

Logaritmo com expoente na base: log_(b^n)(x)

log_(b^n)(x) = (1/n) · log_b(x), para n ≠ 0 e x > 0.

Regra geral dos expoentes: log_(b^n)(x^m)

log_(b^n)(x^m) = (m/n) · log_b(x).

Logaritmo da raiz: log_b(n√x)

log_b(x^(1/n)) = (1/n) · log_b(x), para x > 0 e n inteiro positivo.

Fórmula de mudança de base: log_b(a) para base c

log_b(a) = log_c(a) / log_c(b), onde c > 0 e c ≠ 1.

Inversão entre base e logaritmando: log_b(a)

log_b(a) = 1 / log_a(b), para a ≠ 1.

Logaritmo decimal: notação log(x)

Representa o logaritmo na base 10: log(x) = log_10(x).

Logaritmo natural: notação ln(x)

Representa o logaritmo na base neperiana e: ln(x) = log_e(x), com e ≈ 2,71828.

Valor de ln(e)

ln(e) = 1, pois e^1 = e.

Valor de ln(1)

ln(1) = 0, pois e^0 = 1.

Regra da cadeia de logaritmos: log_b(a) · log_c(b)

log_b(a) · log_c(b) = log_c(a).

Permutação de base e termo: a^(log_b(c))

a^(log_b(c)) = c^(log_b(a)), para a, c > 0 e b > 0, b ≠ 1.

Logaritmo do inverso: log_b(1/x)

log_b(1/x) = -log_b(x), para x > 0.

Base fracionária inversa: log_(1/b)(x)

log_(1/b)(x) = -log_b(x), para b > 0, b ≠ 1 e x > 0.

Logaritmo do inverso na base inversa: log_(1/b)(1/x)

log_(1/b)(1/x) = log_b(x).

Igualdade fundamental: log_b(x) = log_b(y)

log_b(x) = log_b(y) implica necessariamente x = y, devido à injetividade.

Monotonia crescente da função logarítmica

Se b > 1, então x < y se, e somente se, log_b(x) < log_b(y).

Monotonia decrescente da função logarítmica

Se 0 < b < 1, então x < y se, e somente se, log_b(x) > log_b(y).

Domínio da função f(x) = log_b(x)

Dom(f) = {x ∈ ℝ | x > 0}, ou seja, o intervalo aberto (0, +∞).

Imagem da função f(x) = log_b(x)

Im(f) = ℝ, abrangendo todos os números reais de -∞ a +∞.

Assíntota vertical da função f(x) = log_b(x)

A reta x = 0 (eixo y) é a assíntota vertical do gráfico.

Interseção com o eixo x de f(x) = log_b(x)

Ocorre sempre no ponto (1, 0), pois log_b(1) = 0 para toda base válida.

Comportamento no infinito para base b > 1

Quando x tende a +∞, log_b(x) tende a +∞; quando x tende a 0+, tende a -∞.

Comportamento no infinito para base 0 < b < 1

Quando x tende a +∞, log_b(x) tende a -∞; quando x tende a 0+, tende a +∞.

Derivada de ln(x)

d/dx [ln(x)] = 1/x, para x > 0.

Derivada de log_b(x)

d/dx [log_b(x)] = 1 / (x · ln(b)), para x > 0.

Derivada de ln(u(x)) pela regra da cadeia

d/dx [ln(u(x))] = u'(x) / u(x), onde u(x) > 0.

Integral indefinida de 1/x

∫ (1/x) dx = ln|x| + C, onde C é a constante de integração.

Integral indefinida de ln(x)

∫ ln(x) dx = x · ln(x) - x + C.

Integral indefinida de log_b(x)

∫ log_b(x) dx = (x · ln(x) - x) / ln(b) + C.

Definição de ln(x) como integral

ln(x) = ∫[1 até x] (1/t) dt, para qualquer x > 0.

Série de Maclaurin para ln(1 + x)

ln(1 + x) = ∑[n=1 a ∞] (-1)^(n-1) · (x^n / n) para -1 < x ≤ 1.

Limite fundamental exponencial com logaritmo

lim[x -> 0] (ln(1 + x) / x) = 1.

Característica e mantissa de log_10(x)

Característica é a parte inteira e mantissa é a parte decimal não-negativa do logaritmo.

Cologaritmo: definição de colog_b(x)

colog_b(x) = -log_b(x) = log_b(1/x).

Produto cíclico de logaritmos: log_b(a) · log_c(b) · log_a(c)

O produto resulta em 1.

Logaritmo da média geométrica: log(√(x · y))

log(√(x · y)) = (log(x) + log(y)) / 2.

Logaritmo do produto de n fatores: log(x1 · x2 · ... · xn)

log(x1 · x2 · ... · xn) = ∑[i=1 a n] log(xi).

Logaritmo binário: notação lb(x) ou ld(x)

Representa o logaritmo na base 2: lb(x) = log_2(x).

Relação entre log_10 e log_e

ln(x) = log_10(x) / log_10(e) ≈ 2,302585 · log_10(x).

Função inversa do logaritmo f(x) = log_b(x)

A função inversa é a função exponencial f^(-1)(x) = b^x.

Diferenciação logarítmica: derivada de y = u(x)^v(x)

ln(y) = v · ln(u), logo y' = y · [v' · ln(u) + v · (u'/u)].

Propriedade da potência fracionária: log_b(x^(p/q))

log_b(x^(p/q)) = (p/q) · log_b(x).