Logaritmos: Propriedades e Conceitos

Cartões · 52

Definição básica: log_b(a) = x

Equivale a b elevado a x igual a a (b^x = a), onde a > 0, b > 0 e b ≠ 1.

Condição de existência do logaritmando

Em log_b(a), o logaritmando a deve ser estritamente positivo (a > 0).

Condição de existência da base

Em log_b(a), a base b deve ser estritamente positiva e diferente de 1 (b > 0 e b ≠ 1).

Logaritmo de 1 em qualquer base permitida

log_b(1) = 0, pois qualquer base b elevada a 0 é igual a 1 (b^0 = 1).

Logaritmo da própria base: log_b(b)

log_b(b) = 1, pois qualquer base b elevada à primeira potência resulta em b (b^1 = b).

Logaritmo da potência da base: log_b(b^k)

log_b(b^k) = k, pois o logaritmo desfaz a operação exponencial de mesma base.

Potência com expoente logarítmico: b^(log_b(a))

b^(log_b(a)) = a, como consequência direta das operações inversas.

Logaritmo do produto: log_b(x · y)

log_b(x · y) = log_b(x) + log_b(y). O logaritmo do produto é a soma dos logaritmos.

Logaritmo do quociente: log_b(x / y)

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y). O logaritmo da divisão é a diferença dos logaritmos.

Logaritmo da potência do logaritmando: log_b(x^k)

log_b(x^k) = k · log_b(x). O expoente do logaritmando passa multiplicando (regra do tombo).

Logaritmo de uma raiz: log_b(n-ésima raiz de x)

log_b(x^(1/n)) = (1/n) · log_b(x). A raiz é expressa como expoente fracionário e tomba dividindo.

Expoente na base: log_(b^k)(x)

log_(b^k)(x) = (1/k) · log_b(x). O expoente da base sai multiplicando pelo seu inverso.

Expoente na base e no logaritmando: log_(b^n)(x^m)

log_(b^n)(x^m) = (m/n) · log_b(x). O expoente m tomba no numerador e n no denominador.

Fórmula da mudança de base: log_b(a) para base c

log_b(a) = log_c(a) / log_c(b), escolhendo uma base conveniente c > 0 e c ≠ 1.

Inversão entre base e logaritmando: log_b(a)

log_b(a) = 1 / log_a(b), consequência direta da mudança de base para a.

Logaritmo decimal: log(x)

Refere-se ao logaritmo na base 10; a base 10 costuma ser omitida na notação (log_10(x) = log(x)).

Logaritmo natural ou neperiano: ln(x)

Refere-se ao logaritmo na base e (número de Euler, e ≈ 2,718), escrito como ln(x) = log_e(x).

Valor de ln(e)

ln(e) = 1, pois a base do logaritmo natural é o próprio número de Euler e.

Valor de ln(1)

ln(1) = 0, pois e^0 = 1.

Regra da cadeia dos logaritmos: log_b(a) · log_c(b)

log_b(a) · log_c(b) = log_c(a). As bases intermediárias simplificam na multiplicação.

Permutação de bases e expoentes: a^(log_b(c))

a^(log_b(c)) = c^(log_b(a)). A base da potência e o logaritmando do expoente podem ser trocados.

Logaritmo do inverso: log_b(1/x)

log_b(1/x) = -log_b(x), decorrente da propriedade log_b(x^-1) = -1 · log_b(x).

Cálculo de log_2(32)

5, pois 2^5 = 32.

Cálculo de log_3(81)

4, pois 3^4 = 81.

Cálculo de log_5(125)

3, pois 5^3 = 125.

Cálculo de log_10(1000)

3, pois 10^3 = 1000.

Cálculo de log_10(0,01)

-2, pois 0,01 = 10^-2.

Cálculo de log_2(1/8)

-3, pois 1/8 = 2^-3.

Cálculo de log_4(2)

1/2, pois 4^(1/2) = √4 = 2.

Cálculo de log_27(3)

1/3, pois 27^(1/3) = raiz cúbica de 27 = 3.

Cálculo de log_9(27)

3/2, pois 9^(3/2) = (√9)^3 = 3^3 = 27.

Aproximação: log(2) na base 10

Aproximadamente 0,301 (ou 0,30).

Aproximação: log(3) na base 10

Aproximadamente 0,477 (ou 0,48).

Como calcular log(4) conhecendo log(2)

log(4) = log(2^2) = 2 · log(2) ≈ 2 · 0,301 = 0,602.

Como calcular log(5) conhecendo log(2)

log(5) = log(10/2) = log(10) - log(2) = 1 - log(2) ≈ 1 - 0,301 = 0,699.

Como calcular log(6) conhecendo log(2) e log(3)

log(6) = log(2 · 3) = log(2) + log(3) ≈ 0,301 + 0,477 = 0,778.

Como calcular log(8) conhecendo log(2)

log(8) = log(2^3) = 3 · log(2) ≈ 3 · 0,301 = 0,903.

Como calcular log(9) conhecendo log(3)

log(9) = log(3^2) = 2 · log(3) ≈ 2 · 0,477 = 0,954.

Como calcular log(12) usando log(2) e log(3)

log(12) = log(2^2 · 3) = 2·log(2) + log(3) ≈ 2(0,301) + 0,477 = 1,079.

Monotonia: Função logarítmica com base b > 1

A função f(x) = log_b(x) é estritamente crescente: x1 < x2 implica log_b(x1) < log_b(x2).

Monotonia: Função logarítmica com base 0 < b < 1

A função f(x) = log_b(x) é estritamente decrescente: x1 < x2 implica log_b(x1) > log_b(x2).

Inequação logarítmica: log_b(f(x)) < log_b(g(x)) com b > 1

Mantém-se o sentido da desigualdade: 0 < f(x) < g(x).

Inequação logarítmica: log_b(f(x)) < log_b(g(x)) com 0 < b < 1

Inverte-se o sentido da desigualdade: f(x) > g(x) > 0.

Equação básica: log_b(f(x)) = log_b(g(x))

Igualam-se os logaritmandos f(x) = g(x), respeitando as condições de existência f(x) > 0.

Característica e mantissa de um logaritmo decimal

Em log(x) = c + m, c é a parte inteira (característica) e m é a parte decimal não-negativa (mantissa).

Número de dígitos de um número inteiro N na base 10

O total de algarismos é igual a piso(log_10(N)) + 1, onde piso é a parte inteira.

Derivada elementar da função ln(x)

d/dx [ln(x)] = 1/x para x > 0.

Derivada da função log_b(x)

d/dx [log_b(x)] = 1 / (x · ln(b)).

Erro comum: log(a + b)

log(a + b) não é igual a log(a) + log(b); a soma dentro do logaritmo não se distribui.

Erro comum: (log(a)) / (log(b)) versus log(a / b)

A razão log(a)/log(b) é a mudança de base log_b(a), enquanto log(a/b) é log(a) - log(b).

Cálculo de log_1/2(16)

-4, pois (1/2)^-4 = 2^4 = 16.

Cálculo de log_sqrt(2)(8)

6, pois (√2)^6 = 2^(6/2) = 2^3 = 8.