Macetes de Progressão Aritmética (PA)

Cartões · 50

Fórmula do Termo Geral da PA

an = a1 + (n - 1) * r. Exemplo: Para achar o 10º termo com a1 = 3 e r = 4: a10 = 3 + (10 - 1) * 4 = 3 + 36 = 39.

Relação Direta entre Dois Termos Quaisquer

an = ak + (n - k) * r. Exemplo rápido: Se a5 = 20 e r = 3, calcule a12: a12 = a5 + (12 - 5) * 3 = 20 + 7 * 3 = 41 sem calcular a1.

Cálculo Rápido da Razão (r) com Dois Termos

r = (an - ak) / (n - k). Exemplo: Se a3 = 11 e a7 = 27, r = (27 - 11) / (7 - 3) = 16 / 4 = 4.

Média Aritmética de Três Termos Consecutivos

b = (a + c) / 2 ou 2b = a + c. Exemplo: Se (x, 7, 11) é PA, 2 * 7 = x + 11 -> 14 = x + 11 -> x = 3.

Representação Simétrica de 3 Termos em PA

Use (x - r, x, x + r). Macete: A soma dos três termos cancela o r, resultando em 3x. Se a soma é 18, 3x = 18 -> x = 6.

Representação Simétrica de 4 Termos em PA

Use (x - 3y, x - y, x + y, x + 3y) com razão 2y. Macete: A soma resulta em 4x, facilitando encontrar x diretamente.

Representação Simétrica de 5 Termos em PA

Use (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r). Macete: A soma dos cinco termos é igual a 5x. Se a soma for 50, x = 10.

Soma dos Termos Equidistantes dos Extremos

a1 + an = ap + aq sempre que 1 + n = p + q. Exemplo: Numa PA de 10 termos, a1 + a10 = a3 + a8 = a4 + a7.

Fórmula da Soma dos Primeiros n Termos da PA

Sn = (a1 + an) * n / 2. Exemplo: Para somar 10 termos com a1 = 2 e a10 = 20: S10 = (2 + 20) * 10 / 2 = 22 * 5 = 110.

Soma da PA Expressa em Função de a1 e r

Sn = n * a1 + [n * (n - 1) * r] / 2. Útil quando an não é fornecido. Exemplo: n=4, a1=3, r=2 -> S4 = 4*3 + (4*3*2)/2 = 12 + 12 = 24.

Termo Central de uma PA com n Ímpar

O termo central é ac = a[(n+1)/2] = (a1 + an) / 2. Exemplo: Em 9 termos, o termo central é a5 = (a1 + a9) / 2.

Soma da PA Usando o Termo Central (n Ímpar)

Sn = n * Termo Central. Exemplo: PA com 7 termos e termo central a4 = 15. A soma de todos é S7 = 7 * 15 = 105.

Classificação da PA Quanto ao Crescimento

Crescente: r > 0. Decrescente: r < 0. Constante: r = 0. Exemplo: (9, 6, 3) tem r = -3, logo é estritamente decrescente.

Descobrir o Número de Termos (n) da PA

n = [(an - a1) / r] + 1. Exemplo: Quantos múltiplos de 3 existem de 12 a 60? n = [(60 - 12) / 3] + 1 = (48 / 3) + 1 = 17.

Interpolação ou Inserção de k Meios Aritméticos

A nova PA tem N = k + 2 termos e razão r = (b - a) / (k + 1). Exemplo: Inserir 3 meios entre 2 e 14 -> r = (14 - 2)/(3 + 1) = 3.

Relação entre Função Afim e PA

O termo geral é uma função de 1º grau: an = r * n + (a1 - r). O coeficiente angular da reta é exatamente a razão r.

Identificar a Razão a partir da Fórmula de an

Dada an = An + B, a razão r é sempre o coeficiente que multiplica n. Exemplo: Se an = 5n - 2, a razão vale r = 5.

Identificar a Razão a partir da Soma Sn

A soma é do tipo Sn = An² + Bn. A razão r é o dobro do coeficiente de n² (r = 2A). Exemplo: Sn = 3n² + 2n -> r = 6.

Obter an a partir da Fórmula da Soma Sn

an = Sn - S(n-1) para todo n > 1. Exemplo: Se Sn = 2n² + n, a3 = S3 - S2 = (18 + 3) - (8 + 2) = 21 - 10 = 11.

Soma dos Primeiros n Números Naturais Positivos

1 + 2 + 3 + ... + n = n * (n + 1) / 2. Exemplo: A soma de 1 até 100 é 100 * 101 / 2 = 5050.

Soma dos Primeiros n Números Ímpares

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n². Macete imediato: A soma dos 10 primeiros números ímpares positivos é 10² = 100.

Soma dos Primeiros n Números Pares Positivos

2 + 4 + 6 + ... + 2n = n * (n + 1) = n² + n. Exemplo: A soma dos primeiros 8 pares é 8 * 9 = 72.

Condição para Três Números Estarem em PA

y - x = z - y, que equivale a 2y = x + z. Se a igualdade for verdadeira, a sequência (x, y, z) forma uma PA.

Propriedade dos Índices Iguais em Somas

Se p + q = u + v, então ap + aq = au + av. Exemplo: a2 + a8 = a4 + a6, pois 2 + 8 = 4 + 6 = 10.

Operação de Adição de Constante a uma PA

Somar k a todos os termos gera uma nova PA com o mesmo a1 + k e a MESMA razão r. Exemplo: (2, 5, 8) com +3 vira (5, 8, 11), r = 3.

Operação de Multiplicação por Constante em PA

Multiplicar todos os termos por k gera nova PA com razão k * r. Exemplo: (2, 5, 8) com r = 3 vezes 2 vira (4, 10, 16), nova r = 6.

Soma de Duas Progressões Aritméticas

Se an tem razão r1 e bn tem razão r2, a sequência cn = an + bn é uma PA de razão r1 + r2. Exemplo: r1=3 e r2=-1 gera r = 2.

Diferença de Duas Progressões Aritméticas

Se an tem razão r1 e bn tem razão r2, cn = an - bn é uma PA com razão r1 - r2. Exemplo: r1 = 5 e r2 = 2 gera PA de razão 3.

PA de Segunda Ordem (Definição Rápida)

Sequência cujas primeiras diferenças entre termos consecutivos formam uma PA. Exemplo: 2, 5, 10, 17... diferenças são 3, 5, 7...

Termo Geral de PA de Segunda Ordem

Tem formato quadrático: an = An² + Bn + C, onde a segunda diferença constante é igual a 2A.

Como Achar o Primeiro Termo Negativo de uma PA

Monte an < 0 -> a1 + (n - 1) * r < 0 e isole n. Exemplo: PA (50, 43, 36...), r = -7: 50 - 7n + 7 < 0 -> 7n > 57 -> n >= 9 (a9).

Como Achar o Primeiro Termo Maior que um Valor K

Resolva a1 + (n - 1) * r > K para achar o menor inteiro n. Exemplo: PA (4, 9, ...), K = 50: 4 + (n-1)*5 > 50 -> 5n > 51 -> n = 11.

Média Aritmética Global dos Termos de uma PA

A média aritmética de todos os n termos da PA é igual à média dos extremos: (a1 + an) / 2 = Sn / n.

Identificação de PA em Logaritmos

Se x, y, z formam uma PG positiva de razão q, então log(x), log(y), log(z) formam uma PA de razão log(q).

Identificação de PG a partir de Expoentes em PA

Se os expoentes formam uma PA de razão r, as potências k^a1, k^a2, k^a3 formam uma PG de razão k^r.

Determinar se um Número Pertence a uma PA

O valor X pertence à PA se n = (X - a1)/r + 1 for um número inteiro positivo. Se for fracionário, não pertence.

Subtração entre Índices e Múltiplos da Razão

ax - ay = (x - y) * r. Macete: Use para achar saltos sem passar por a1. Exemplo: a20 - a15 = 5r diretamente.

Contagem de Múltiplos em um Intervalo Fechado

Ache o primeiro múltiplo (a1) e o último (an). Use n = [(an - a1) / passo] + 1. Exemplo: Múltiplos de 6 entre 10 e 50: 12 e 48 -> (48-12)/6+1 = 7.

Propriedade dos Ângulos de um Triângulo em PA

Se os ângulos internos de um triângulo estão em PA, o ângulo intermediário é SEMPRE 60º, pois (x-r)+x+(x+r) = 180 -> 3x = 180.

Lados de um Triângulo Retângulo em PA

Os lados estão na proporção 3 : 4 : 5. Macete: Se estão em PA e o triângulo é retângulo, os lados são 3k, 4k e 5k com r = k.

Lados de um Triângulo Qualquer em PA

Use x - r, x, x + r. Pela condição de existência de triângulo: (x - r) + x > x + r -> x > 2r.

Soma de Termos de Posição Ímpar vs Par

Em PA com 2n termos: S_pares - S_ímpares = n * r. Exemplo: 6 termos com r = 4 -> diferença entre somas é 3 * 4 = 12.

Subsequência Formada por Índices em PA

Extrair termos com passos regulares (ex: a2, a5, a8, ...) forma nova PA cuja razão é o passo vezes a razão original (3r).

Razão Nula (PA Constante ou Estacionária)

r = 0. Todos os termos são idênticos: a1 = a2 = an. A soma dos n termos simplifica para Sn = n * a1.

Achar o Ponto Máximo da Soma de PA Decrescente

A soma Sn atinge o valor máximo ao somar todos os termos estritamente positivos (an >= 0). Pare antes do primeiro termo negativo.

Achar o Ponto Mínimo da Soma de PA Crescente

Se a1 < 0 e r > 0, a soma atinge valor mínimo acumulando todos os termos negativos (an <= 0) antes de somar positivos.

Relação entre Perímetro de Polígono e PA

Se os lados formam PA, o perímetro 2p é a soma da PA: 2p = n * (L1 + Ln) / 2, onde n é o número de lados.

Soma dos Ângulos de um Polígono de n Lados em PA

A soma vale (n - 2) * 180. Se estão em PA, o termo médio ou a média dos extremos é igual a (n - 2)*180 / n.

Diferença Simétrica entre Dois Termos Equidistantes

an - a(n-k) = k * r. Exemplo: O termo a10 menos a7 é sempre 3r, independentemente do valor inicial a1.

Verificação Rápida de Equação da Razão por Sistema

Se a2 + a4 = 16 e a1 + a5 = 16, note que 2+4 = 1+5. O sistema é indeterminado se você não usar outra relação independente!