Progressão Aritmética (PA)

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Definição de Progressão Aritmética (PA)

Sequência numérica em que a diferença entre qualquer termo (a partir do segundo) e seu antecessor é constante.

Razão de uma PA (r)

r = a_(n) - a_(n-1), constante que representa o valor somado a cada termo para obter o próximo.

Fórmula do termo geral da PA a partir de a_1

a_n = a_1 + (n - 1) * r

Fórmula do termo geral da PA a partir de a_k

a_n = a_k + (n - k) * r

Classificação de PA: Crescente

Ocorre quando a razão r é estritamente positiva (r > 0).

Classificação de PA: Decrescente

Ocorre quando a razão r é estritamente negativa (r < 0).

Classificação de PA: Constante ou Estacionária

Ocorre quando a razão r é igual a zero (r = 0).

Propriedade da média aritmética de três termos consecutivos

O termo do meio é a média aritmética dos vizinhos: b = (a + c) / 2.

Propriedade dos termos equidistantes dos extremos

A soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos: a_p + a_q = a_1 + a_n (quando p + q = n + 1).

Fórmula da soma dos n primeiros termos (S_n)

S_n = ((a_1 + a_n) * n) / 2

Fórmula da soma dos n termos em função de a_1 e r

S_n = (n / 2) * [2*a_1 + (n - 1)*r]

Representação prática de 3 termos em PA

(x - r, x, x + r), onde a soma dos três termos resulta em 3x.

Representação prática de 4 termos em PA

(x - 3y, x - y, x + y, x + 3y), onde a razão da PA é 2y.

Representação prática de 5 termos em PA

(x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r), onde a soma resulta em 5x.

Termo médio de uma PA com número ímpar de termos

a_m = (a_1 + a_n) / 2, ocupando a posição m = (n + 1) / 2.

Soma dos termos de uma PA ímpar em função do termo médio

S_n = n * a_m, onde a_m é o termo central.

Interpolação aritmética (inserir k meios aritméticos)

Processo de inserir k termos entre a e b, formando uma PA com n = k + 2 termos.

Fórmula da razão na interpolação de k meios entre a e b

r = (b - a) / (k + 1)

Relação entre o termo geral a_n e a soma S_n

a_n = S_n - S_(n-1), para n ≥ 2; com a_1 = S_1.

Comportamento da função do termo geral da PA

a_n = r*n + (a_1 - r), correspondente a uma função afim discreta de coeficiente angular r.

Comportamento da função da soma S_n da PA

S_n = (r/2)*n² + (a_1 - r/2)*n, correspondente a uma função quadrática sem termo independente (c = 0).

Condição para três números (a, b, c) formarem uma PA

b - a = c - b, ou equivalentemente 2b = a + c.

Número de termos (n) conhecendo a_1, a_n e r

n = ((a_n - a_1) / r) + 1

Soma dos n primeiros números naturais positivos (1 a n)

S_n = (n * (n + 1)) / 2

Soma dos n primeiros números pares positivos (2, 4, 6...)

S_n = n * (n + 1)

Soma dos n primeiros números ímpares positivos (1, 3, 5...)

S_n = n²

Termo geral dos números ímpares positivos

a_n = 2n - 1, para n ≥ 1.

Termo geral dos números pares positivos

a_n = 2n, para n ≥ 1.

Subtração termo a termo de duas PAs

Gera uma nova PA cuja razão é a diferença das razões originais: r_nova = r_1 - r_2.

Soma termo a termo de duas PAs

Gera uma nova PA cuja razão é a soma das razões originais: r_nova = r_1 + r_2.

Multiplicação de todos os termos de uma PA por uma constante k

Resulta em uma nova PA cuja razão é k vezes a razão original (r_nova = k * r).

Adição de uma constante c a todos os termos de uma PA

Resulta em uma nova PA com os termos deslocados, mantendo a mesma razão original.

PA de segunda ordem

Sequência cujas diferenças consecutivas entre termos formam uma progressão aritmética comum não nula.

Fórmula do termo geral da PA de 2ª ordem com diferenças (b_n)

a_n = a_1 + soma de b_1 até b_(n-1).

Diferença entre dois termos quaisquer a_p e a_q

a_p - a_q = (p - q) * r

Posição dos termos equidistantes em uma PA de n termos

Os termos a_k e a_(n - k + 1) são equidistantes dos extremos.

Condição de existência de termo médio único

O número de termos n da PA deve ser ímpar.

Par de termos centrais em PA com n par

Os termos centrais ocupam as posições n/2 e (n/2) + 1.

Relação entre média aritmética dos extremos e termos centrais

(a_1 + a_n) / 2 = (a_(n/2) + a_(n/2 + 1)) / 2, válida para n par.

Determinação da razão conhecendo dois termos arbitrários

r = (a_p - a_q) / (p - q), com p diferente de q.

Termo n-ésimo a partir do final de uma PA finita

a' = a_n - (k - 1) * r, onde k é a ordem a partir do último termo.

Interpretação gráfica de uma PA no plano cartesiano

Conjunto de pontos colineares e discretos pertencentes à reta y = rx + (a_1 - r).

Coeficiente angular da reta que contém os pontos da PA

O coeficiente angular m é numericamente igual à razão r da PA.

Soma de múltiplos consecutivos de um inteiro k

Forma uma PA de razão r = k.

Condição para soma de termos consecutivos anular-se

Ocorre quando a_1 + a_n = 0, ou seja, termos opostos e equidistantes simétricos em relação ao zero.

Produto dos termos de uma PA finita com simetria

Não possui fórmula simples fechada elementar, sendo expresso através de fatoriais ou função gama.

Propriedade da subsequência de índices em PA

Se os índices i_1, i_2, i_3... formam uma PA, os termos a_(i_1), a_(i_2), a_(i_3)... também formam uma PA.

Média de todos os termos de uma PA finita

Média = S_n / n = (a_1 + a_n) / 2.

Critério para uma progressão ser simultaneamente PA e PG

A sequência deve ser constante e não nula (razão da PA r = 0 e da PG q = 1).

Soma de termos de índice par vs índice ímpar em PA com n par

S_par - S_ímpar = (n / 2) * r.