Sistemas de Equações

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O que é uma equação linear?

É uma equação polinomial de primeiro grau nas variáveis, na forma a1*x1 + a2*x2 + ... + an*xn = b, sem produtos ou potências entre variáveis.

O que define um sistema de equações lineares?

Um conjunto finito de duas ou mais equações lineares com as mesmas variáveis avaliadas simultaneamente.

O que é a solução de um sistema linear?

Uma sequência de valores para as incógnitas que satisfaz simultaneamente todas as equações do sistema.

O que é um Sistema Possível e Determinado (SPD)?

É um sistema linear que admite exatamente uma única solução (solução única).

O que é um Sistema Possível e Indeterminado (SPI)?

É um sistema que admite infinitas soluções, possuindo pelo menos uma variável livre.

O que é um Sistema Impossível (SI)?

É um sistema que não possui nenhuma solução, gerando uma contradição matemática como 0 = 1.

Como interpretar geometricamente um SPD de duas equações no R²?

Representa duas retas concorrentes que se interceptam em exatamente um único ponto (x, y).

Como interpretar geometricamente um SPI de duas equações no R²?

Representa duas retas coincidentes, que se sobrepõem e compartilham infinitos pontos.

Como interpretar geometricamente um SI de duas equações no R²?

Representa duas retas paralelas e distintas, que nunca se interceptam.

O que é um sistema linear homogêneo?

É um sistema em que todos os termos independentes (constantes) são iguais a zero.

O que é a solução trivial de um sistema homogêneo?

É a solução em que todas as variáveis são simultaneamente iguais a zero: (0, 0, ..., 0).

Um sistema homogêneo pode ser impossível (SI)?

Não, pois ele sempre admite no mínimo a solução trivial, sendo sempre possível (SPD ou SPI).

Em que consiste o Método da Substituição?

Isola-se uma incógnita em uma equação e substitui-se a expressão resultante nas demais equações.

Substituição: Resolver x + y = 5 e 2x - y = 4 (Passo 1)

Isolando x na primeira equação: x = 5 - y.

Substituição: Resolver x + y = 5 e 2x - y = 4 (Passo 2)

Substitui-se x na segunda equação: 2*(5 - y) - y = 4 => 10 - 2y - y = 4 => 10 - 3y = 4.

Substituição: Resolver x + y = 5 e 2x - y = 4 (Passo 3)

Isola-se y: -3y = 4 - 10 => -3y = -6 => y = 2.

Substituição: Resolver x + y = 5 e 2x - y = 4 (Passo 4 - Final)

Calcula-se x usando x = 5 - y => x = 5 - 2 = 3. O conjunto solução é S = {(3, 2)}.

Em que consiste o Método da Adição (ou Eliminação)?

Multiplicam-se as equações por fatores adequados para que os coeficientes de uma incógnita fiquem opostos, somando-as.

Adição: Resolver 3x + 2y = 16 e 5x - 2y = 16 (Passo 1)

Como os coeficientes de y já são opostos (+2 e -2), soma-se as duas equações diretamente.

Adição: Resolver 3x + 2y = 16 e 5x - 2y = 16 (Passo 2)

(3x + 5x) + (2y - 2y) = 16 + 16 => 8x = 32 => x = 4.

Adição: Resolver 3x + 2y = 16 e 5x - 2y = 16 (Passo 3 - Final)

Substitui-se x = 4 em 3*(4) + 2y = 16 => 12 + 2y = 16 => 2y = 4 => y = 2. Solução: S = {(4, 2)}.

Em que consiste o Método da Comparação?

Isola-se a mesma incógnita em duas equações distintas e igualam-se as duas expressões obtidas.

Comparação: Resolver y = 2x + 1 e y = -x + 4 (Passo 1)

Igualam-se as duas expressões de y: 2x + 1 = -x + 4.

Comparação: Resolver y = 2x + 1 e y = -x + 4 (Passo 2 - Final)

2x + x = 4 - 1 => 3x = 3 => x = 1. Substituindo: y = 2*(1) + 1 = 3. Solução: S = {(1, 3)}.

O que é a Regra de Cramer?

Método para resolver sistemas n x n com matriz de coeficientes invertível usando determinantes: xi = Det(Ai)/Det(A).

Quando a Regra de Cramer pode ser aplicada?

Apenas quando o sistema tem o mesmo número de equações e incógnitas (matriz quadrada) e Det(A) ≠ 0.

O que representa o determinante D na Regra de Cramer?

É o determinante da matriz principal, formada exclusivamente pelos coeficientes numéricos das incógnitas.

O que representa Dx na Regra de Cramer?

É o determinante da matriz obtida ao trocar a coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes.

Cramer: Resolver 2x + 3y = 8 e x - y = -1 (Passo 1: achar D)

D = (2)*(-1) - (3)*(1) = -2 - 3 = -5.

Cramer: Resolver 2x + 3y = 8 e x - y = -1 (Passo 2: achar Dx)

Substitui a coluna x por [8, -1]: Dx = (8)*(-1) - (3)*(-1) = -8 + 3 = -5.

Cramer: Resolver 2x + 3y = 8 e x - y = -1 (Passo 3: achar Dy)

Substitui a coluna y por [8, -1]: Dy = (2)*(-1) - (8)*(1) = -2 - 8 = -10.

Cramer: Resolver 2x + 3y = 8 e x - y = -1 (Passo 4 - Final)

x = Dx/D = -5/-5 = 1 e y = Dy/D = -10/-5 = 2. Conjunto solução: S = {(1, 2)}.

Na Regra de Cramer, se D = 0 e pelo menos um Di ≠ 0, o que ocorre?

O sistema linear é classificado como Impossível (SI), pois geraria divisão por zero de valor não nulo.

Na Regra de Cramer, se D = 0 e todos os Di = 0 em 2x2, o que ocorre?

Geralmente o sistema é Possível e Indeterminado (SPI), podendo em alguns casos 3x3 ser Impossível.

O que é o Método de Eliminação de Gauss (Escalonamento)?

Processo de aplicar operações elementares sobre as linhas da matriz para transformá-la em forma triangular/escalonada.

Quais são as três operações elementares sobre linhas em uma matriz?

Trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo e somar a uma linha o múltiplo de outra.

O que é a matriz aumentada de um sistema linear?

É a matriz que concatena a matriz de coeficientes com o vetor coluna de termos constantes.

O que caracteriza uma matriz escalonada por linhas?

O primeiro elemento não nulo (pivô) de cada linha fica estritamente à direita do pivô da linha anterior.

Gauss: Escalonar L1=[1, 1, 1 | 6], L2=[2, -1, 1 | 3], L3=[1, 0, 2 | 5] (Passo 1)

Zerar x abaixo de L1: L2 <- L2 - 2*L1 resulta em [0, -3, -1 | -9]. L3 <- L3 - L1 resulta em [0, -1, 1 | -1].

Gauss 3x3: Linhas intermediárias L2=[0, -3, -1 | -9] e L3=[0, -1, 1 | -1] (Passo 2)

Eliminar y em L3: multiplicando L3 por 3 e subtraindo L2: 3*L3 - L2 = [0, 0, 3 - (-1) | -3 - (-9)] = [0, 0, 4 | 6].

Gauss 3x3: Resolver z a partir de 4z = 6 (Passo 3)

4z = 6 => z = 6/4 = 1,5 (ou 3/2).

Gauss 3x3: Substituição regressiva para y com -3y - z = -9 (Passo 4)

-3y - 1,5 = -9 => -3y = -7,5 => y = 2,5.

Gauss 3x3: Substituição regressiva para x com x + y + z = 6 (Passo 5 - Final)

x + 2,5 + 1,5 = 6 => x + 4 = 6 => x = 2. Solução única: S = {(2; 2,5; 1,5)}.

O que é o Método de Gauss-Jordan?

Extensão do escalonamento que continua eliminando termos acima dos pivôs até obter a matriz identidade reduzida.

Qual a vantagem do Método de Gauss-Jordan?

Ao final das operações, os valores finais de cada incógnita já aparecem diretamente na coluna dos termos constantes.

O que diz o Teorema de Rouché-Capelli?

Um sistema linear é compatível se, e somente se, o posto da matriz de coeficientes for igual ao da matriz aumentada.

Pelo Teorema de Rouché-Capelli, quando o sistema é SPD?

Quando o posto da matriz dos coeficientes é igual ao da matriz aumentada e ambos são iguais ao número de incógnitas.

Pelo Teorema de Rouché-Capelli, quando o sistema é SPI?

Quando o posto da matriz de coeficientes é igual ao da matriz aumentada, porém menor que o número de incógnitas.

O que indica a linha [0 0 0 | 7] em uma matriz aumentada escalonada?

Indica 0*x + 0*y + 0*z = 7 (0 = 7), caracterizando que o sistema linear é Impossível (SI).

O que indica a linha [0 0 0 | 0] em uma matriz aumentada escalonada?

Indica 0 = 0, uma identidade verdadeira; se o número de equações restantes for menor que as variáveis, é SPI.

O que são graus de liberdade em um SPI?

A diferença entre o número total de incógnitas (n) e o posto da matriz (p), dada por n - p.

Como representar a solução de x + y = 4 (SPI)?

Adotando y como variável livre t (t pertencente aos reais), o conjunto solução é S = {(4 - t, t)}.

Como escrever um sistema linear na forma matricial A*X = B?

A é a matriz dos coeficientes, X é o vetor coluna das variáveis e B é o vetor coluna dos termos independentes.

Como resolver A*X = B usando matriz inversa?

Se A for invertível (Det(A) ≠ 0), multiplica-se à esquerda pela inversa: X = A^(-1) * B.

O que são sistemas equivalentes?

Sistemas lineares distintos que possuem rigorosamente o mesmo conjunto de soluções.