Conjuntos Matemáticos

Cartões · 53

Conjunto

Coleção bem definida de objetos ou elementos distintos, geralmente denotada por letras maiúsculas como A, B ou C.

Elemento de um conjunto

Objeto individual que pertence a um conjunto. Notação: x ∈ A indica que x pertence a A; x ∉ A indica que não pertence.

Conjunto vazio

Conjunto que não contém nenhum elemento. Notação: ∅ ou { }.

Conjunto unitário

Conjunto formado por exatamente um único elemento. Notação: {x}.

Conjunto universo

Conjunto de referência que contém todos os elementos possíveis dentro de um contexto ou discussão específica. Notação: U.

Pertinência

Relação binária que associa um elemento a um conjunto. Notação: símbolo ∈ (pertence) e ∉ (não pertence).

Inclusão ou subconjunto

A é subconjunto de B se todo elemento de A também pertence a B. Notação: A ⊆ B, formalmente ∀x (x ∈ A → x ∈ B).

Subconjunto próprio

A é subconjunto próprio de B se A ⊆ B e A ≠ B. Notação: A ⊂ B.

Igualdade de conjuntos

Dois conjuntos são iguais se e somente se possuem os mesmos elementos. Notação: A = B ↔ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A).

Cardinalidade de conjunto finito

Número total de elementos distintos pertencentes a um conjunto A. Notação: |A| ou n(A) ou #A.

União de conjuntos

Conjunto com todos os elementos que pertencem a A ou a B. Notação: A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.

Interseção de conjuntos

Conjunto formado pelos elementos comuns a A e a B simultaneamente. Notação: A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.

Conjuntos disjuntos

Conjuntos cuja interseção é o conjunto vazio, isto é, não compartilham elementos. Notação: A ∩ B = ∅.

Diferença de conjuntos (diferença relativa)

Conjunto dos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Notação: A \ B ou A - B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}.

Complementar de um conjunto

Conjunto dos elementos do universo U que não pertencem a A. Notação: Aᶜ ou A' ou U \ A = {x ∈ U | x ∉ A}.

Diferença simétrica

Conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B, mas não a ambos. Notação: A Δ B = (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B).

Conjunto das partes (potência)

Conjunto formado por todos os subconjuntos possíveis de A. Notação: P(A) ou 2^A = {X | X ⊆ A}.

Cardinalidade do conjunto das partes

Se um conjunto finito A possui n elementos, a cardinalidade de seu conjunto das partes é expressa por |P(A)| = 2^n.

Par ordenado

Coleção de dois objetos onde a ordem importa. Formalmente definido por Kuratowski como (a, b) = {{a}, {a, b}}.

Produto cartesiano

Conjunto de todos os pares ordenados com primeiro elemento em A e segundo em B. Notação: A × B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}.

Conjunto dos números naturais

Conjunto dos inteiros não negativos {0, 1, 2, 3, ...} ou inteiros positivos {1, 2, 3, ...}. Notação: ℕ ou N.

Conjunto dos números inteiros

Conjunto formado por números naturais, seus opostos negativos e zero. Notação: ℤ = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.

Conjunto dos números racionais

Conjunto de frações de inteiros com denominador não nulo. Notação: ℚ = {a/b | a, b ∈ ℤ e b ≠ 0}.

Conjunto dos números irracionais

Conjunto dos números reais que não podem ser escritos como quociente de dois inteiros. Notação: ℝ \ ℚ ou I.

Conjunto dos números reais

União dos números racionais com os irracionais, representando a reta contínua. Notação: ℝ = ℚ ∪ (ℝ \ ℚ).

Conjunto dos números complexos

Conjunto de números na forma a + bi, onde a, b ∈ ℝ e i² = -1. Notação: ℂ = {a + bi | a, b ∈ ℝ}.

Lei de De Morgan para a união

O complementar da união é igual à interseção dos complementares. Notação: (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ.

Lei de De Morgan para a interseção

O complementar da interseção é igual à união dos complementares. Notação: (A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ.

Idempotência da união e interseção

A união ou interseção de um conjunto consigo mesmo resulta no próprio conjunto: A ∪ A = A e A ∩ A = A.

Comutatividade das operações com conjuntos

A ordem dos operandos não altera o resultado: A ∪ B = B ∪ A e A ∩ B = B ∩ A.

Associatividade das operações com conjuntos

O agrupamento não altera o resultado: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) e (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

Distributividade da união em relação à interseção

A operação de união se distribui sobre a interseção: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Distributividade da interseção em relação à união

A operação de interseção se distribui sobre a união: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

Lei da dupla complementação

O complementar do complementar de um conjunto é o próprio conjunto original: (Aᶜ)ᶜ = A.

Elemento neutro da união

O conjunto vazio atua como identidade para a união: A ∪ ∅ = A para qualquer conjunto A.

Elemento neutro da interseção

O conjunto universo atua como identidade para a interseção: A ∩ U = A para qualquer A ⊆ U.

Elemento absorvente da união

A união de qualquer conjunto com o conjunto universo resulta no próprio universo: A ∪ U = U.

Elemento absorvente da interseção

A interseção de qualquer conjunto com o conjunto vazio resulta no conjunto vazio: A ∩ ∅ = ∅.

Princípio da inclusão-exclusão (2 conjuntos)

Fórmula da cardinalidade da união de dois conjuntos finitos: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|.

Princípio da inclusão-exclusão (3 conjuntos)

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Intervalo aberto na reta real

Conjunto de reais estritamente entre dois extremos: (a, b) ou ]a, b[ = {x ∈ ℝ | a < x < b}.

Intervalo fechado na reta real

Conjunto de reais incluindo os valores extremos: [a, b] = {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}.

Intervalo semiaberto / semifechado

Intervalo que inclui apenas um de seus extremos. Notação: [a, b) = {x ∈ ℝ | a ≤ x < b} ou (a, b] = {x ∈ ℝ | a < x ≤ b}.

Partição de um conjunto

Família de subconjuntos não vazios disjuntos dois a dois cuja união resulta no conjunto original: ⋃Aᵢ = S e Aᵢ ∩ Aⱼ = ∅ (i ≠ j).

Conjunto enumerável

Conjunto que possui bijeção com os números naturais ℕ ou é finito. Notação de cardinalidade: |A| ≤ ℵ₀ (Aleph-zero).

Conjunto não enumerável

Conjunto infinito com cardinalidade estritamente maior que ℕ, como o conjunto dos reais ℝ. Notação: |ℝ| = 𝔠 = 2^(ℵ₀).

Relação binária

Qualquer subconjunto do produto cartesiano entre dois conjuntos A e B: R ⊆ A × B.

Função como conjunto

Relação f ⊆ A × B tal que para todo x ∈ A existe um único y ∈ B com (x, y) ∈ f. Notação: f: A → B.

União generalizada (família de conjuntos)

Conjunto de elementos que pertencem a ao menos um membro da família: ⋃_{i ∈ I} Aᵢ = {x | ∃i ∈ I (x ∈ Aᵢ)}.

Interseção generalizada (família de conjuntos)

Conjunto de elementos que pertencem a todos os membros da família: ⋂_{i ∈ I} Aᵢ = {x | ∀i ∈ I (x ∈ Aᵢ)}.

Anti-reflexividade do conjunto vazio

O conjunto vazio não contém elementos e é subconjunto de todo conjunto: ∅ ⊆ A para qualquer conjunto A.

Conjunto finito

Conjunto que possui bijeção com {1, 2, ..., n} para algum número natural n, ou é vazio.

Conjunto infinito

Conjunto que não é finito; equivalentemente, conjunto que pode ser colocado em bijeção com um subconjunto próprio.