Teoria dos Conjuntos

Cartões · 50

Conjunto

Coleção bem definida de elementos, indicada por chaves. Notação: A = {x | P(x)}. Exemplo: A = {1, 2, 3} representa o conjunto dos três primeiros inteiros positivos.

Elemento e Relação de Pertinência

Indica se um item pertence a um conjunto. Notação: x ∈ A (pertence) ou x ∉ A (não pertence). Exemplo: se A = {2, 4}, então 2 ∈ A e 3 ∉ A.

Conjunto Vazio

Conjunto sem elementos. Notação: ∅ ou {}. Exemplo: {x ∈ ℝ | x² = -1} = ∅ nos números reais.

Conjunto Unitário

Conjunto com exatamente um elemento. Notação: {a}. Exemplo: {x ∈ ℕ | 2x = 6} = {3}.

Conjunto Universo

Conjunto contendo todos os elementos considerados em um contexto. Notação: U. Exemplo: no estudo de números pares e ímpares, U = ℤ.

Subconjunto (Inclusão)

Relação onde todos os elementos de um conjunto estão no outro. Notação: A ⊆ B (A está contido em B). Exemplo: se A = {1, 2} e B = {1, 2, 3}, então A ⊆ B.

Subconjunto Próprio

A é subconjunto de B e A ≠ B. Notação: A ⊂ B. Exemplo: {1, 2} ⊂ {1, 2, 3}, pois 3 não pertence ao primeiro.

Não Inclusão

Indica que nem todos os elementos de A estão em B. Notação: A ⊄ B. Exemplo: {1, 4} ⊄ {1, 2, 3}, pois 4 ∉ {1, 2, 3}.

Igualdade de Conjuntos

Dois conjuntos possuem exatamente os mesmos elementos. Notação: A = B ⇔ (A ⊆ B e B ⊆ A). Exemplo: {1, 2, 3} = {3, 2, 1}.

Cardinalidade de um Conjunto Finito

Número total de elementos distintos. Notação: |A| ou n(A). Exemplo: se A = {a, b, c}, então |A| = 3.

União de Conjuntos

Elementos que pertencem a A ou a B (ou a ambos). Notação: A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}. Exemplo: {1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.

Interseção de Conjuntos

Elementos que pertencem a A e a B simultaneamente. Notação: A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}. Exemplo: {1, 2, 3} ∩ {2, 3, 4} = {2, 3}.

Conjuntos Disjuntos

Conjuntos cuja interseção é vazia. Notação: A ∩ B = ∅. Exemplo: se A = {1, 3} e B = {2, 4}, A e B são disjuntos.

Diferença de Conjuntos

Elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Notação: A \ B ou A - B = {x | x ∈ A e x ∉ B}. Exemplo: {1, 2, 3} \ {2, 4} = {1, 3}.

Complementar de um Conjunto

Elementos do conjunto universo que não pertencem a A. Notação: A^c ou C_U(A) = U \ A. Exemplo: se U = {1, 2, 3, 4} e A = {1, 2}, então A^c = {3, 4}.

Diferença Simétrica

Elementos que pertencem a A ou B, mas não a ambos. Notação: A Δ B = (A \ B) ∪ (B \ A). Exemplo: {1, 2} Δ {2, 3} = {1, 3}.

Conjunto das Partes (Conjunto Potência)

Conjunto de todos os subconjuntos de A. Notação: P(A) ou 𝒫(A); |𝒫(A)| = 2^|A|. Exemplo: se A = {1, 2}, P(A) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}.

Par Ordenado

Par de elementos onde a ordem importa. Notação: (a, b). Exemplo: (1, 2) ≠ (2, 1).

Produto Cartesiano

Conjunto de todos os pares ordenados com primeiro elemento em A e segundo em B. Notação: A × B = {(a, b) | a ∈ A e b ∈ B}. Exemplo: {1, 2} × {x} = {(1, x), (2, x)}.

Propriedade Comutativa da União e Interseção

A ordem dos conjuntos não altera a operação. Notação: A ∪ B = B ∪ A e A ∩ B = B ∩ A. Exemplo: {1} ∪ {2} = {2} ∪ {1} = {1, 2}.

Propriedade Associativa

O agrupamento não altera o resultado da operação repetida. Notação: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). Exemplo: ({1} ∪ {2}) ∪ {3} = {1, 2, 3}.

Propriedade Distributiva

Distribuição de uma operação sobre outra. Notação: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Exemplo: {1} ∩ ({1, 2} ∪ {3}) = ({1} ∩ {1, 2}) ∪ ({1} ∩ {3}) = {1}.

Primeira Lei de De Morgan

O complementar da união é a interseção dos complementares. Notação: (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c. Exemplo: se U = {1, 2, 3}, A = {1}, B = {2}, (A ∪ B)^c = {3} = A^c ∩ B^c.

Segunda Lei de De Morgan

O complementar da interseção é a união dos complementares. Notação: (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c. Exemplo: se U = {1, 2}, A = {1}, B = {2}, (A ∩ B)^c = ∅^c = U = A^c ∪ B^c.

Propriedade da Idempotência

Operar um conjunto com ele mesmo resulta nele próprio. Notação: A ∪ A = A e A ∩ A = A. Exemplo: {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.

Princípio da Inclusão-Exclusão (2 Conjuntos)

Cálculo do número de elementos da união de dois conjuntos finitos. Notação: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|. Exemplo: se |A|=3, |B|=4 e |A ∩ B|=1, então |A ∪ B| = 6.

Princípio da Inclusão-Exclusão (3 Conjuntos)

Notação: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|. Exemplo: evita contar elementos compartilhados mais de uma vez.

Conjunto dos Números Naturais

Conjunto dos inteiros não-negativos. Notação: ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}. Exemplo: 5 ∈ ℕ, mas -2 ∉ ℕ.

Conjunto dos Números Inteiros

Inclui positivos, negativos e o zero. Notação: ℤ = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}. Exemplo: -7 ∈ ℤ e ℕ ⊂ ℤ.

Conjunto dos Números Racionais

Números que podem ser expressos como fração de dois inteiros (denominador ≠ 0). Notação: ℚ = {a/b | a, b ∈ ℤ e b ≠ 0}. Exemplo: 0,75 = 3/4 ∈ ℚ.

Conjunto dos Números Irracionais

Números reais com dízima não periódica e infinita. Notação: ℝ \ ℚ ou 𝕀. Exemplo: √2 ≈ 1,4142... e π ∈ 𝕀.

Conjunto dos Números Reais

União de todos os números racionais com os irracionais. Notação: ℝ = ℚ ∪ 𝕀. Exemplo: -3, 1/2 e √5 pertencem todos a ℝ.

Conjunto dos Números Complexos

Números da forma a + bi, onde i² = -1. Notação: ℂ = {a + bi | a, b ∈ ℝ}. Exemplo: 3 + 2i ∈ ℂ e ℝ ⊂ ℂ.

Intervalo Real Aberto

Conjunto de números entre dois limites excluindo as extremidades. Notação: (a, b) ou ]a, b[ = {x ∈ ℝ | a < x < b}. Exemplo: (2, 5) contém 3 e 4,99, mas não 2 e 5.

Intervalo Real Fechado

Conjunto de números entre dois limites incluindo as extremidades. Notação: [a, b] = {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}. Exemplo: [2, 5] contém tanto o 2 quanto o 5.

Partição de um Conjunto

Família de subconjuntos não vazios, disjuntos dois a dois, cuja união é o conjunto original. Notação: ∪ A_i = S e A_i ∩ A_j = ∅ (i ≠ j). Exemplo: {{1, 2}, {3}} particiona {1, 2, 3}.

Relação Binária

Subconjunto do produto cartesiano A × B. Notação: R ⊆ A × B. Exemplo: a relação 'menor que' em {1, 2} é R = {(1, 2)}.

Relação de Equivalência

Relação reflexiva, simétrica e transitiva. Notação: x ~ y. Exemplo: congruência módulo 3 em ℤ (a ≡ b mod 3).

Classe de Equivalência

Conjunto de elementos equivalentes a um dado elemento sob uma relação ~. Notação: [a] = {x ∈ A | x ~ a}. Exemplo: a classe do zero mod 2 é o conjunto dos números pares.

Conjunto Finito

Conjunto com número de elementos equivalente a um número natural n. Notação: |A| = n (n ∈ ℕ). Exemplo: o alfabeto de 26 letras é finito.

Conjunto Infinito Enumerável

Conjunto que possui bijeção com o conjunto dos números naturais ℕ. Notação: |A| = ℵ₀ (Aleph-zero). Exemplo: ℤ e ℚ são infinitos enumeráveis.

Conjunto Não Enumerável

Conjunto infinito maior que ℕ (sem bijeção com ℕ). Notação: |A| > ℵ₀. Exemplo: o conjunto dos números reais ℝ ou o intervalo (0, 1).

Paradoxo de Russell

Mostra que a teoria ingênua de conjuntos é inconsistente. Notação: R = {x | x ∉ x} implica R ∈ R ⇔ R ∉ R. Exemplo: o barbeiro que barbeia apenas quem não se barbeia.

Lei da Dupla Negação (Involução)

O complementar do complementar de um conjunto é o próprio conjunto. Notação: (A^c)^c = A. Exemplo: se U = {1, 2, 3} e A = {1}, A^c = {2, 3} e (A^c)^c = {1} = A.

Propriedade de Absorção

Combinações entre união e interseção simplificam para o próprio conjunto. Notação: A ∪ (A ∩ B) = A e A ∩ (A ∪ B) = A. Exemplo: {1, 2} ∪ ({1, 2} ∩ {2, 3}) = {1, 2}.

Elemento Neutro da União e Interseção

O vazio é neutro para a união; o universo é neutro para a interseção. Notação: A ∪ ∅ = A e A ∩ U = A. Exemplo: {5} ∪ ∅ = {5}.

Diagrama de Venn

Representação gráfica de conjuntos por meio de curvas fechadas em um plano. Exemplo: círculos sobrepostos mostrando elementos comuns na região central de interseção.

Axioma da Extensionalidade

Dois conjuntos são iguais se e somente se têm os mesmos elementos. Notação: ∀x(x ∈ A ↔ x ∈ B) → A = B. Exemplo: {a, b, b} é idêntico a {a, b}.

Axioma da Escolha

Para qualquer coleção de conjuntos não vazios e disjuntos, existe um conjunto contendo exatamente um elemento de cada um. Notação: ∃f: I → ∪ A_i tal que f(i) ∈ A_i.

Hipótese do Contínuo

Proposição de que não existe cardinalidade estritamente entre ℕ e ℝ. Notação: 2^ℵ₀ = ℵ₁. Exemplo: decidida como indecidível pelos axiomas usuais de ZFC.