Teoria dos Conjuntos

Cartões · 51

Conjunto

Coleção bem definida de objetos ou elementos considerados como um todo.

Elemento

Objeto que pertence a um determinado conjunto.

Símbolo de pertinência: ∈

Indica que um elemento pertence a um conjunto (ex.: x ∈ A significa 'x pertence a A').

Símbolo de não-pertinência: ∉

Indica que um elemento não pertence a um conjunto (ex.: x ∉ A significa 'x não pertence a A').

Conjunto vazio: ∅ ou {}

Conjunto que não contém nenhum elemento. Notação: ∅ ou {} (nunca {∅}).

Conjunto universo: U

Conjunto que contém todos os elementos considerados em um dado contexto de estudo.

Conjunto unitário

Conjunto composto por exatamente um elemento (ex.: {a}).

Cardinalidade de um conjunto: |A| ou n(A)

Número total de elementos distintos pertencentes ao conjunto finito A.

Igualdade de conjuntos: A = B

Dois conjuntos A e B são iguais se e somente se possuem exatamente os mesmos elementos: (∀x)(x ∈ A ↔ x ∈ B).

Subconjunto: A ⊆ B

A está contido em B se todo elemento de A também for elemento de B: (∀x)(x ∈ A → x ∈ B).

Subconjunto próprio: A ⊂ B

A é subconjunto próprio de B se A ⊆ B e A ≠ B (existe ao menos um elemento em B que não está em A).

Símbolo contém: B ⊇ A

Indica que o conjunto B contém o conjunto A, isto é, todo elemento de A pertence a B.

Símbolo não está contido: A ⊄ B

Indica que existe ao menos um elemento de A que não pertence a B: ∃x(x ∈ A ∧ x ∉ B).

União de conjuntos: A ∪ B

Conjunto formado por elementos que pertencem a A, a B ou a ambos: {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.

Interseção de conjuntos: A ∩ B

Conjunto formado por elementos que pertencem simultaneamente a A e a B: {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.

Conjuntos disjuntos

Conjuntos cuja interseção é vazia: A ∩ B = ∅.

Diferença de conjuntos: A \ B ou A - B

Conjunto de elementos que pertencem a A mas não pertencem a B: {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}.

Complementar de um conjunto: A' ou A^c ou C_U(A)

Diferença entre o conjunto universo U e o conjunto A: U \ A = {x ∈ U | x ∉ A}.

Diferença simétrica: A Δ B

Conjunto dos elementos que pertencem a A ou B, mas não a ambos: (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B).

Conjunto das partes: P(A) ou 2^A

Conjunto de todos os subconjuntos de A. Se |A| = n, então |P(A)| = 2^n.

Princípio da Inclusão-Exclusão para dois conjuntos

Expressão da cardinalidade da união: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|.

Princípio da Inclusão-Exclusão para três conjuntos

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Leis de De Morgan para conjuntos

(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c e (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c.

Propriedade comutativa

A ∪ B = B ∪ A e A ∩ B = B ∩ A.

Propriedade associativa

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) e (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

Propriedade distributiva da união sobre a interseção

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Propriedade distributiva da interseção sobre a união

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

Idempotência

Para qualquer conjunto A: A ∪ A = A e A ∩ A = A.

Elemento neutro da união e da interseção

A ∪ ∅ = A e A ∩ U = A.

Elemento absorvente da união e da interseção

A ∪ U = U e A ∩ ∅ = ∅.

Par ordenado: (a, b)

Estrutura de dois elementos onde a ordem importa; formalmente definido como {{a}, {a, b}} por Kuratowski.

Produto cartesiano: A × B

Conjunto de todos os pares ordenados onde o 1º elemento pertence a A e o 2º a B: {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}.

Cardinalidade do produto cartesiano

Se A e B são conjuntos finitos, |A × B| = |A| × |B|.

Relação binária de A em B

Qualquer subconjunto do produto cartesiano A × B (R ⊆ A × B).

Partição de um conjunto

Família de subconjuntos não vazios de A dois a dois disjuntos cuja união resulta em A.

Conjunto dos números naturais: ℕ

Conjunto dos inteiros não-negativos: {0, 1, 2, 3, ...} (em alguns contextos exclui o zero, denotado por ℕ*).

Conjunto dos números inteiros: ℤ

Conjunto de números positivos, negativos e zero: {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.

Conjunto dos números racionais: ℚ

Conjunto de razões entre inteiros: {a/b | a, b ∈ ℤ, b ≠ 0}.

Conjunto dos números irracionais: 𝕀 ou ℝ \ ℚ

Conjunto de números reais que não podem ser escritos como fração de inteiros (decimais infinitos e não-periódicos).

Conjunto dos números reais: ℝ

União dos números racionais e irracionais: ℝ = ℚ ∪ 𝕀.

Conjunto dos números complexos: ℂ

Conjunto de números da forma {a + bi | a, b ∈ ℝ, onde i² = -1}.

Intervalo aberto: (a, b) ou ]a, b[

Subconjunto de números reais: {x ∈ ℝ | a < x < b}.

Intervalo fechado: [a, b]

Subconjunto de números reais: {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}.

Intervalo semiaberto / semifechado: [a, b)

Subconjunto de números reais que inclui a extremidade inferior mas exclui a superior: {x ∈ ℝ | a ≤ x < b}.

Conjunto enumerável

Conjunto que possui bijeção com o conjunto dos números naturais ℕ (ou é finito).

Conjunto não-enumerável

Conjunto infinito que não pode ser colocado em correspondência biunívoca com ℕ (ex.: o intervalo [0, 1] em ℝ).

Paradoxo de Russell

Contradição na teoria ingênua dos conjuntos obtida ao definir R = {x | x ∉ x}, levando a R ∈ R ↔ R ∉ R.

Axioma da Extensionalidade

Dois conjuntos são iguais se e somente se possuem os mesmos elementos: (∀z)(z ∈ x ↔ z ∈ y) → x = y.

Diagrama de Venn

Representação gráfica de conjuntos por meio de figuras geométricas fechadas no plano para mostrar suas relações.

Notação por compreensão (ou propriedade)

Definição de um conjunto descrevendo a propriedade de seus elementos: {x ∈ U | P(x)}.

Notação por extensão (ou enumeração)

Definição de um conjunto explicitando todos os seus elementos entre chaves: {x₁, x₂, ..., xₙ}.