Função Linear

Cartões · 53

Definição formal de função afim

Função da forma f(x) = ax + b, com domínio e contradomínio nos números reais, onde a e b são constantes reais.

Definição estrita de função linear

Caso particular de função afim em que b = 0, dada por f(x) = ax, passando obrigatoriamente pela origem (0, 0).

Significado do coeficiente 'a'

Coeficiente angular ou declividade da reta; determina a inclinação e a taxa de variação da função.

Significado do coeficiente 'b'

Coeficiente linear; indica a ordenada do ponto onde a reta intercepta o eixo vertical y, no ponto (0, b).

Representação gráfica de uma função afim

Uma linha reta não vertical no plano cartesiano.

Condição para função afim ser estritamente crescente

O coeficiente angular 'a' deve ser maior que zero (a > 0).

Condição para função afim ser estritamente decrescente

O coeficiente angular 'a' deve ser menor que zero (a < 0).

Condição para função ser constante

O coeficiente angular 'a' é igual a zero (a = 0), resultando em f(x) = b, uma reta paralela ao eixo x.

Fórmula do coeficiente angular entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2)

a = (y2 - y1) / (x2 - x1), expressando a variação de y dividida pela variação de x.

Raiz ou zero da função afim f(x) = ax + b

O valor de x que torna f(x) = 0, dado por x = -b / a (com a ≠ 0).

Significado geométrico da raiz da função

Ponto de interseção da reta com o eixo das abscissas (eixo x), de coordenadas (-b/a, 0).

Ponto de interseção com o eixo y

Ponto de coordenadas (0, b), obtido fazendo x = 0 na lei de formação.

Função identidade

Função afim f(x) = x, onde a = 1 e b = 0, que bissecta os quadrantes 1 e 3.

Propriedade aditiva da função linear estrita f(x) = ax

f(x + y) = f(x) + f(y) para todos os x e y reais.

Propriedade homogênea da função linear estrita f(x) = ax

f(k * x) = k * f(x) para qualquer escalar real k.

Taxa de variação média de uma função afim

É constante e idêntica ao coeficiente angular 'a' em qualquer intervalo de seu domínio.

Condição para retas paralelas no plano

Duas funções afins geram retas paralelas se possuírem coeficientes angulares iguais (a1 = a2) e lineares distintos.

Condição para retas perpendiculares no plano

Duas funções afins geram retas perpendiculares se o produto de seus coeficientes angulares for -1 (a1 * a2 = -1).

Condição para retas coincidentes

Possuem o mesmo coeficiente angular (a1 = a2) e o mesmo coeficiente linear (b1 = b2).

Domínio da função afim f(x) = ax + b

O conjunto de todos os números reais (R).

Conjunto imagem da função afim com a ≠ 0

O conjunto de todos os números reais (R).

Conjunto imagem da função constante f(x) = b

O conjunto unitário contendo apenas o número real b: {b}.

Injetividade da função afim (a ≠ 0)

A função é injetora, pois elementos distintos no domínio geram imagens distintas no contradomínio.

Sobrejetividade da função afim (a ≠ 0, com contradomínio R)

A função é sobrejetora, pois todo número real possui pelo menos uma pré-imagem correspondente.

Bijetividade da função afim (a ≠ 0)

Sendo injetora e sobrejetora em R, a função afim com a ≠ 0 é bijetora e admite função inversa.

Função inversa de f(x) = ax + b (com a ≠ 0)

f⁻¹(x) = (x - b) / a, que também é uma função afim.

Sinal da função afim crescente (a > 0)

f(x) < 0 para x < -b/a; f(x) = 0 para x = -b/a; f(x) > 0 para x > -b/a.

Sinal da função afim decrescente (a < 0)

f(x) > 0 para x < -b/a; f(x) = 0 para x = -b/a; f(x) < 0 para x > -b/a.

Equação fundamental da reta passando por (x0, y0)

y - y0 = a * (x - x0), útil para deduzir a função afim a partir de um ponto e da inclinação.

Forma geral da equação da reta

Ax + By + C = 0, que se transforma na função afim y = (-A/B)x - (C/B) quando B ≠ 0.

Forma reduzida da equação da reta

y = ax + b, coincidente com a lei de formação analítica da função afim.

Relação trigonométrica do coeficiente angular 'a'

O coeficiente angular 'a' é igual à tangente do ângulo de inclinação da reta com o semieixo x positivo: a = tan(θ).

Ângulo agudo da reta (0° < θ < 90°)

A tangente é positiva, logo o coeficiente angular a > 0 e a função é crescente.

Ângulo obtuso da reta (90° < θ < 180°)

A tangente é negativa, logo o coeficiente angular a < 0 e a função é decrescente.

Ângulo nulo da reta (θ = 0°)

A tangente é zero, logo a = 0 e a reta é horizontal (função constante).

Reta vertical x = k e o conceito de função

Uma reta vertical x = k não representa uma função afim, pois associa um único valor de x a infinitos valores de y.

Derivada de primeira ordem de f(x) = ax + b

f'(x) = a, confirmando que a inclinação instantânea é constante em todos os pontos.

Derivada de segunda ordem de f(x) = ax + b

f''(x) = 0, demonstrando que uma reta não possui concavidade ou ponto de inflexão.

Composição de duas funções afins

Se f(x) = a1*x + b1 e g(x) = a2*x + b2, a composta f(g(x)) = (a1*a2)x + (a1*b2 + b1), que também é afim.

Ponto fixo de uma função afim

Ponto onde f(x) = x; existe e é único se a ≠ 1, obtido resolvendo a equação ax + b = x, logo x = b / (1 - a).

Interseção entre duas retas y = a1*x + b1 e y = a2*x + b2 (a1 ≠ a2)

Obtida igualando as equações: x = (b2 - b1) / (a1 - a2), determinando o ponto único de encontro.

Equação segmentária da reta

x/p + y/q = 1, onde p é o ponto de corte no eixo x (raiz) e q é o ponto de corte no eixo y (b).

Função translação da função linear

A função afim f(x) = ax + b é uma translação vertical de b unidades da função puramente linear g(x) = ax.

Variação proporcional em f(x) = ax

Se x é multiplicado por uma constante k, f(x) também é multiplicado pela mesma constante k.

Diferença entre modelo proporcional e afim

Modelos proporcionais partem da origem (b = 0); modelos afins gerais têm valor inicial não nulo (b ≠ 0).

Interpretação econômica de f(x) = ax + b

Comum em custos totais, onde b representa o custo fixo e a representa o custo variável por unidade x produzida.

Paridade da função afim com b ≠ 0

A função afim geral não é par nem ímpar quando b ≠ 0 e a ≠ 0.

Paridade da função linear f(x) = ax

É uma função ímpar, pois f(-x) = a(-x) = -ax = -f(x), sendo simétrica em relação à origem.

Área sob o gráfico de uma função afim positiva em [x1, x2]

Corresponde geometricamente à área de um trapézio delimitado pela reta, pelo eixo x e pelas ordenadas verticais.

Integral indefinida de f(x) = ax + b

A primitiva de f(x) é dada por F(x) = (a/2)x² + bx + C, onde C é uma constante de integração arbitrária.

Média aritmética em funções afins

Para qualquer função afim, a imagem do ponto médio é o ponto médio das imagens: f((x1 + x2)/2) = (f(x1) + f(x2))/2.

Comportamento nos extremos para a > 0

Quando x tende a +infinito, f(x) tende a +infinito; quando x tende a -infinito, f(x) tende a -infinito.

Comportamento nos extremos para a < 0

Quando x tende a +infinito, f(x) tende a -infinito; quando x tende a -infinito, f(x) tende a +infinito.