Função Quadrática 2

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Forma geral da função quadrática

f(x) = ax² + bx + c, com a, b, c reais e a diferente de 0. O termo ax² determina a curvatura e a concavidade da parábola.

Qual é a curva gerada pelo gráfico de uma função quadrática?

Uma parábola simétrica em relação a uma reta vertical paralela ou coincidente com o eixo y.

Influência do sinal do coeficiente 'a' na concavidade

Se a > 0, a concavidade é voltada para cima (formato de U). Se a < 0, a concavidade é voltada para baixo.

Significado geométrico do coeficiente 'c'

Representa o ponto de interseção da parábola com o eixo das ordenadas (y), correspondendo ao ponto (0, c).

Fórmula do discriminante (Delta)

Δ = b² - 4ac. Mede a quantidade e o tipo de raízes reais da equação quadrática associada.

Interpretação do discriminante: Δ > 0

A função possui duas raízes reais e distintas. A parábola cruza o eixo x em dois pontos diferentes.

Interpretação do discriminante: Δ = 0

A função possui uma única raiz real dupla. A parábola tangencia o eixo x no seu vértice.

Interpretação do discriminante: Δ < 0

Não existem raízes reais. A parábola não toca nem intercepta o eixo horizontal x.

Fórmula de Bhaskara para raízes reais

x = (-b ± √Δ) / (2a), onde Δ = b² - 4ac.

Coordenadas do vértice da parábola

V = (Xv, Yv), onde Xv = -b / (2a) e Yv = -Δ / (4a) ou Yv = f(Xv).

Quando o vértice é ponto de mínimo?

Quando a > 0. A parábola tem abertura para cima e o valor Yv é o menor valor assumido pela função.

Quando o vértice é ponto de máximo?

Quando a < 0. A parábola tem abertura para baixo e o valor Yv é o maior valor assumido pela função.

Equação do eixo de simetria da parábola

Reta vertical x = -b / (2a). Divide a parábola exatamente em duas metades espelhadas.

Fórmulas de Viète: Soma das raízes (S)

x1 + x2 = -b / a. A soma das raízes depende apenas dos coeficientes b e a.

Fórmulas de Viète: Produto das raízes (P)

x1 * x2 = c / a. O produto das raízes depende exclusivamente dos coeficientes c e a.

Forma fatorada da função quadrática

f(x) = a(x - x1)(x - x2), onde x1 e x2 são as raízes reais da função.

Forma canônica da função quadrática

f(x) = a(x - Xv)² + Yv, onde (Xv, Yv) são as coordenadas do vértice da parábola.

Calcule as raízes de f(x) = x² - 5x + 6

Passo 1: Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1. Passo 2: x = (5 ± 1) / 2. Raízes: x1 = 3 e x2 = 2.

Encontre o vértice de f(x) = x² - 4x + 3

Passo 1: Xv = -(-4) / (2*1) = 2. Passo 2: Yv = 2² - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. Vértice: (2, -1).

Calcule as raízes de f(x) = x² - 9

Equação incompleta: x² - 9 = 0 => x² = 9 => x = ±√9 => x = 3 e x = -3.

Calcule as raízes de f(x) = 2x² - 8x

Fatorando: 2x(x - 4) = 0 => 2x = 0 ou x - 4 = 0. Raízes: x1 = 0 e x2 = 4.

Encontre o vértice de f(x) = -x² + 6x - 5

Xv = -6 / (2*(-1)) = 3. Yv = -(3)² + 6(3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4. Vértice: (3, 4), ponto de máximo.

Determine o valor máximo de f(x) = -2x² + 8x - 1

a < 0, logo há máximo. Xv = -8 / (2*(-2)) = 2. Valor máximo: Yv = -2(4) + 8(2) - 1 = -8 + 16 - 1 = 7.

Determine o valor mínimo de f(x) = 3x² - 12x + 15

a > 0, logo há mínimo. Xv = 12 / 6 = 2. Valor mínimo: Yv = 3(4) - 12(2) + 15 = 12 - 24 + 15 = 3.

Calcule as raízes de f(x) = x² - 6x + 9

Trinômio quadrado perfeito: (x - 3)² = 0 => x - 3 = 0 => x = 3 (raiz dupla). Δ = 36 - 36 = 0.

Resolva f(x) = x² + 4x + 5 = 0 em R

Δ = 4² - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4. Como Δ < 0, a função não possui raízes reais.

Conjunto imagem de f(x) = x² - 2x - 3

Xv = 2 / 2 = 1. Yv = 1 - 2 - 3 = -4. Como a > 0, a função cresce a partir de Yv. Imagem: Im = [ -4, +∞ ).

Conjunto imagem de f(x) = -x² + 4x

Xv = -4 / -2 = 2. Yv = -(2)² + 4(2) = 4. Como a < 0, o vértice é teto. Imagem: Im = ( -∞, 4 ].

Interpretação geométrica de b = 0

O eixo de simetria coincide com o eixo y (x = 0), tornando a parábola perfeitamente centrada na vertical.

Interpretação do sinal de b no gráfico

Indica a inclinação ao cortar o eixo y: se b > 0, a curva corta o eixo y subindo; se b < 0, cortando descendo.

Escreva na forma fatorada: f(x) = 2x² - 10x + 12

Raízes: x² - 5x + 6 = 0 => x = 2 e x = 3. Como a = 2, a forma fatorada é f(x) = 2(x - 2)(x - 3).

Obtenha a forma canônica de f(x) = x² - 6x + 11

Completando quadrados: x² - 6x + 9 + 2 = (x - 3)² + 2. Vértice em (3, 2).

Encontre as raízes de f(x) = 2x² + 5x - 3

Δ = 25 - 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49. x = (-5 ± 7) / 4. Raízes: x1 = 2/4 = 0.5 e x2 = -12/4 = -3.

Eixo de simetria de f(x) = 4x² - 16x + 7

Reta vertical x = -b / (2a) = -(-16) / (2 * 4) = 16 / 8 = 2. A reta x = 2 é o eixo de simetria.

Soma e produto das raízes de 3x² - 9x + 6 = 0

Soma: S = -b/a = -(-9)/3 = 3. Produto: P = c/a = 6/3 = 2. As raízes são 1 e 2.

Calcule as raízes de f(x) = -x² + 25

-x² + 25 = 0 => x² = 25 => x = ±5. As raízes reais são x1 = -5 e x2 = 5.

Construa a equação quadrática com raízes 4 e -1 (com a = 1)

S = 4 + (-1) = 3; P = 4 * (-1) = -4. Pela fórmula x² - Sx + P = 0, a equação é x² - 3x - 4 = 0.

Qual o sinal de f(x) = x² - 4x + 3 fora das raízes?

As raízes são 1 e 3 e a = 1 > 0. Para x < 1 ou x > 3, f(x) > 0 (estritamente positiva).

Qual o sinal de f(x) = x² - 4x + 3 entre as raízes?

Para 1 < x < 3, o gráfico fica abaixo do eixo x, logo f(x) < 0 (estritamente negativa).

Onde f(x) = x² - 2x - 8 é estritamente crescente?

Xv = -(-2) / 2 = 1. Como a > 0, a parábola desce até o vértice e sobe depois. Crescente no intervalo [1, +∞).

Onde f(x) = -x² + 4x + 1 é estritamente decrescente?

Xv = -4 / -2 = 2. Como a < 0, a função atinge o pico em 2 e depois decresce. Decrescente no intervalo [2, +∞).

Encontre o vértice de f(x) = x² + 8x

Xv = -8 / 2 = -4. Yv = (-4)² + 8(-4) = 16 - 32 = -16. Vértice: (-4, -16).

Calcule as raízes de f(x) = 3x² - 12

3x² = 12 => x² = 4 => x = ±2. Raízes: x1 = -2 e x2 = 2.

Para quais valores de k a função f(x) = x² - 6x + k tem raiz dupla?

Exige Δ = 0. (-6)² - 4(1)(k) = 0 => 36 - 4k = 0 => 4k = 36 => k = 9.

Para quais valores de m a função f(x) = x² + 2x + m não tem raízes reais?

Exige Δ < 0. 2² - 4(1)(m) < 0 => 4 - 4m < 0 => 4 < 4m => m > 1.

Encontre as raízes de f(x) = 4x² - 12x + 9

Trinômio quadrado perfeito: (2x - 3)² = 0 => 2x - 3 = 0 => x = 3/2 (raiz real única dupla).

Qual a relação entre o X do vértice e as raízes reais?

Xv é o ponto médio aritmético exato entre as duas raízes: Xv = (x1 + x2) / 2.

Calcule a altura máxima de um projétil dado por h(t) = -5t² + 20t

Tempo no pico: tv = -20 / (2 * -5) = 2 s. Altura máxima: h(2) = -5(4) + 20(2) = -20 + 40 = 20 metros.

Vértice de f(x) = 2x² - 4x + 5

Xv = -(-4) / (2*2) = 1. Yv = 2(1)² - 4(1) + 5 = 3. Vértice no ponto (1, 3).

Significado de a = 0 na equação ax² + bx + c

Deixa de ser quadrática e se torna linear (do primeiro grau: f(x) = bx + c), gerando uma reta.

Interseção com o eixo y de f(x) = -3x² + 7x - 11

Fazendo x = 0, obtemos f(0) = -11. Ponto de contato: (0, -11).

Calcule as raízes de f(x) = x² + 7x + 12

Dois números com soma -7 e produto 12: -3 e -4. Portanto, as raízes são x1 = -3 e x2 = -4.