Função Quadrática

Cartões · 53

Forma geral da função quadrática

f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a é diferente de zero.

Formato gráfico da função quadrática

O gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola com eixo vertical.

Condição para a parábola ter concavidade voltada para cima

O coeficiente 'a' deve ser estritamente positivo (a > 0).

Condição para a parábola ter concavidade voltada para baixo

O coeficiente 'a' deve ser estritamente negativo (a < 0).

Fórmula do discriminante (delta)

Δ = b² - 4ac.

Significado de Δ > 0 no número de raízes reais

A função possui duas raízes reais distintas e o gráfico cruza o eixo x duas vezes.

Significado de Δ = 0 no número de raízes reais

A função possui apenas uma raiz real dupla e o gráfico tangencia o eixo x no vértice.

Significado de Δ < 0 no número de raízes reais

A função não possui raízes reais e o gráfico não intersecta o eixo x.

Fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes

x = (-b ± √Δ) / (2a).

Fórmula da coordenada x do vértice (Xv)

Xv = -b / (2a).

Fórmula da coordenada y do vértice (Yv)

Yv = -Δ / (4a), ou calculando o valor da função no vértice: f(Xv).

Ponto de interseção da parábola com o eixo das ordenadas (y)

Ocorre no ponto (0, c), obtido substituindo x por zero na equação.

Eixo de simetria da parábola

É a reta vertical dada pela equação x = -b / (2a).

Condição para o vértice ser ponto de mínimo

Ocorre quando a > 0. O valor mínimo da função é Yv = -Δ / (4a).

Condição para o vértice ser ponto de máximo

Ocorre quando a < 0. O valor máximo da função é Yv = -Δ / (4a).

Relação de Girard: Soma das raízes (S)

S = x1 + x2 = -b / a.

Relação de Girard: Produto das raízes (P)

P = x1 * x2 = c / a.

Forma fatorada da função quadrática

f(x) = a(x - x1)(x - x2), onde x1 e x2 são as raízes reais da equação.

Forma canônica da função quadrática

f(x) = a(x - Xv)² + Yv, destacando as coordenadas do vértice (Xv, Yv).

Exemplo: Identifique os coeficientes de f(x) = x² - 6x + 8

a = 1, b = -6 e c = 8.

Exemplo: Calcule o delta de f(x) = x² - 6x + 8

Δ = (-6)² - 4*(1)*(8) = 36 - 32 = 4.

Exemplo: Raízes de f(x) = x² - 6x + 8 por Bhaskara

x = (6 ± √4)/2 = (6 ± 2)/2; logo, x1 = 4 e x2 = 2.

Exemplo: Calcule o Xv de f(x) = x² - 6x + 8

Xv = -(-6) / (2 * 1) = 6 / 2 = 3.

Exemplo: Calcule o Yv de f(x) = x² - 6x + 8

Yv = -Δ / (4a) = -4 / (4 * 1) = -1, ou f(3) = 3² - 6(3) + 8 = -1.

Exemplo: Coordenadas completas do vértice de f(x) = x² - 6x + 8

O vértice é o ponto V(3, -1), representando o ponto de mínimo da parábola.

Exemplo: Interseção com o eixo y de f(x) = x² - 6x + 8

Substituindo x = 0, obtemos y = 8. O ponto de interseção é (0, 8).

Exemplo: Forma fatorada de f(x) = x² - 6x + 8

Como as raízes são 2 e 4, a forma fatorada é f(x) = (x - 2)(x - 4).

Exemplo: Forma canônica de f(x) = x² - 6x + 8

Com V(3, -1) e a = 1, a forma canônica é f(x) = (x - 3)² - 1.

Exemplo: Soma e produto de raízes para f(x) = x² - 6x + 8

Soma: S = -(-6)/1 = 6; Produto: P = 8/1 = 8. Números que somam 6 e multiplicam 8: 2 e 4.

Exemplo: Vértice de f(x) = -2x² + 8x - 5

Xv = -8 / (2 * -2) = 2; Yv = -2(2)² + 8(2) - 5 = -8 + 16 - 5 = 3. Vértice é (2, 3).

Exemplo: O vértice de f(x) = -2x² + 8x - 5 é máximo ou mínimo?

É ponto de máximo com valor máximo 3, pois o coeficiente 'a' é negativo (a = -2 < 0).

Exemplo: Raízes da equação incompleta 2x² - 8 = 0

2x² = 8 => x² = 4 => x = ±2. Raízes: -2 e 2.

Exemplo: Raízes da equação incompleta 3x² - 9x = 0

Fatorando x: 3x(x - 3) = 0 => x = 0 ou x = 3. Raízes: 0 e 3.

Exemplo: Quantas raízes reais tem f(x) = x² + 2x + 5?

Δ = 2² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16. Como Δ < 0, a função não possui raízes reais.

Estudo do sinal: se a > 0 e Δ > 0

A função é positiva fora das raízes e negativa entre as duas raízes.

Estudo do sinal: se a < 0 e Δ > 0

A função é negativa fora das raízes e positiva entre as duas raízes.

Estudo do sinal: se a > 0 e Δ = 0

A função é estritamente positiva para todo x real diferente da raiz dupla x = Xv.

Estudo do sinal: se a > 0 e Δ < 0

A função é estritamente positiva (f(x) > 0) para qualquer valor real de x.

Estudo do sinal: se a < 0 e Δ < 0

A função é estritamente negativa (f(x) < 0) para qualquer valor real de x.

O que indica o coeficiente linear 'b' na parábola?

Indica a inclinação ao cruzar o eixo y: sobe se b > 0, desce se b < 0, vértice se b = 0.

O que ocorre com a parábola quando o coeficiente b = 0?

O eixo de simetria coincide exatamente com o eixo y (Xv = 0).

O que ocorre com a parábola quando o termo independente c = 0?

A parábola passa pela origem do plano cartesiano, ponto (0, 0).

Conjunto imagem da função quadrática se a > 0

Im(f) = [Yv, +∞[, ou seja, todos os reais maiores ou iguais ao valor mínimo Yv.

Conjunto imagem da função quadrática se a < 0

Im(f) = ]-∞, Yv], ou seja, todos os reais menores ou iguais ao valor máximo Yv.

Exemplo: Conjunto imagem de f(x) = x² - 6x + 8

Como a = 1 > 0 e Yv = -1, o conjunto imagem é Im(f) = [-1, +∞[.

Intervalo de crescimento para a > 0

A função é decrescente em ]-∞, Xv] e crescente em [Xv, +∞[.

Intervalo de crescimento para a < 0

A função é crescente em ]-∞, Xv] e decrescente em [Xv, +∞[.

Relação entre raízes e Xv

O x do vértice é sempre a média aritmética das raízes reais: Xv = (x1 + x2) / 2.

Método de completar quadrados em x² - 6x + 8

x² - 6x + 9 - 1 = (x - 3)² - 1, revelando diretamente o vértice V(3, -1).

Condição para que f(x) = ax² + bx + c seja estritamente positiva para todo x

Deve-se ter simultaneamente o coeficiente a > 0 e o discriminante Δ < 0.

Condição para que f(x) = ax² + bx + c seja estritamente negativa para todo x

Deve-se ter simultaneamente o coeficiente a < 0 e o discriminante Δ < 0.

Exemplo de aplicação: Altura h(t) = -5t² + 20t. Qual o tempo até a altura máxima?

tv = -b / (2a) = -20 / (2 * -5) = -20 / -10 = 2 segundos.

Exemplo de aplicação: Altura h(t) = -5t² + 20t. Qual a altura máxima atingida?

h(2) = -5(2)² + 20(2) = -20 + 40 = 20 metros.