Função Quadrática

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O que define a forma geral de uma função quadrática?

A função é expressa como f(x) = ax² + bx + c, em que a, b e c são números reais e o coeficiente a é diferente de zero.

Qual é o formato geométrico do gráfico de uma função quadrática?

O gráfico de toda função quadrática é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo vertical y.

Como o coeficiente a determina a concavidade da parábola?

Se a > 0, a concavidade é voltada para cima (tem ponto mínimo); se a < 0, a concavidade é voltada para baixo (tem ponto máximo).

Qual o significado geométrico do coeficiente c no gráfico?

O termo c representa a ordenada onde a parábola corta o eixo y, ou seja, no ponto de coordenadas (0, c).

Como calcular o discriminante (delta) de ax² + bx + c = 0?

A fórmula do discriminante é dada por: delta = b² - 4ac.

Qual o significado de delta > 0 em relação às raízes?

A função possui duas raízes reais e distintas, interceptando o eixo x em dois pontos diferentes.

Qual o significado de delta = 0 em relação às raízes?

A função possui exatamente uma raiz real dupla, tangenciando o eixo x em um único ponto.

Qual o significado de delta < 0 em relação às raízes?

A função não possui raízes reais e a parábola não intercepta o eixo x em nenhum ponto.

Fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes reais:

x = (-b ± raiz quadrada de delta) / (2a), onde delta = b² - 4ac.

Como calcular a coordenada x do vértice (Xv)?

A coordenada horizontal do vértice é dada pela fórmula: Xv = -b / (2a).

Como calcular a coordenada y do vértice (Yv)?

A coordenada vertical do vértice é calculada por: Yv = -delta / (4a) ou avaliando f(Xv).

O vértice é ponto de máximo ou mínimo quando a > 0?

Como a parábola tem concavidade voltada para cima, o vértice representa o valor mínimo absoluto da função.

O vértice é ponto de máximo ou mínimo quando a < 0?

Como a parábola tem concavidade para baixo, o vértice representa o valor máximo absoluto da função.

Qual é a equação do eixo de simetria da parábola?

É a reta vertical que passa pelo vértice, descrita pela equação x = -b / (2a).

Encontre as raízes de f(x) = x² - 5x + 6.

Delta = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1. Raízes: x = (5 ± 1) / 2, resultando em x1 = 3 e x2 = 2.

Determine o vértice da parábola f(x) = x² - 6x + 8.

Xv = -(-6) / (2*1) = 3. Yv = f(3) = 3² - 6(3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1. O vértice é V(3, -1).

Encontre as raízes de f(x) = x² - 4.

Igualando a zero: x² - 4 = 0 => x² = 4. Portanto, as raízes são x = 2 e x = -2.

Encontre as raízes de f(x) = 2x² - 8x.

Fatorando: 2x(x - 4) = 0. As raízes ocorrem quando 2x = 0 ou x - 4 = 0, logo x = 0 ou x = 4.

Calcule o vértice de f(x) = -x² + 4x - 3.

Xv = -4 / (2*(-1)) = 2. Yv = -(2)² + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1. O vértice máximo é V(2, 1).

Qual o valor máximo assumido por f(x) = -2x² + 8x + 1?

Xv = -8 / (2*(-2)) = 2. Valor máximo = f(2) = -2(4) + 8(2) + 1 = -8 + 16 + 1 = 9.

Qual a forma fatorada de uma função quadrática com raízes r1 e r2?

A expressão é dada por f(x) = a(x - r1)(x - r2).

Qual a forma canônica (forma do vértice) de uma função quadrática?

A forma canônica é f(x) = a(x - Xv)² + Yv, onde (Xv, Yv) são as coordenadas do vértice.

Pelas relações de Girard, qual a soma das raízes de ax² + bx + c = 0?

A soma das duas raízes x1 + x2 é dada por: S = -b / a.

Pelas relações de Girard, qual o produto das raízes de ax² + bx + c = 0?

O produto das raízes x1 * x2 é dado por: P = c / a.

Use soma e produto para achar raízes de x² - 7x + 10 = 0.

Soma = 7 e Produto = 10. Os dois números cujo produto é 10 e a soma é 7 são x1 = 2 e x2 = 5.

Encontre as raízes de f(x) = x² + 2x + 5 no conjunto real.

Delta = 2² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16. Como delta < 0, a função não possui raízes reais.

Qual o ponto de interseção de f(x) = 3x² - 2x - 7 com o eixo y?

Para x = 0, f(0) = c = -7. A parábola cruza o eixo vertical no ponto (0, -7).

Determine as raízes de f(x) = x² - 10x + 25.

Delta = (-10)² - 4(1)(25) = 100 - 100 = 0. A equação tem raiz única: x = 10 / 2 = 5.

Como o coeficiente b influencia a inclinação no cruzamento com y?

Se b > 0, o gráfico corta o eixo y subindo; se b < 0, corta descendo; se b = 0, corta no vértice.

Qual o conjunto imagem de f(x) = ax² + bx + c quando a > 0?

O conjunto imagem é o intervalo fechado [Yv, +infinito), pois Yv é o valor mínimo.

Qual o conjunto imagem de f(x) = ax² + bx + c quando a < 0?

O conjunto imagem é o intervalo (-infinito, Yv], pois Yv é o valor máximo.

Determine a imagem da função f(x) = x² - 4x + 7.

Xv = 2. Yv = 2² - 4(2) + 7 = 3. Como a = 1 > 0, a imagem da função é [3, +infinito).

Calcule as raízes de -x² + 5x - 6 = 0.

Multiplicando por -1: x² - 5x + 6 = 0. Fatorando: (x - 2)(x - 3) = 0. Raízes: x = 2 e x = 3.

Escreva f(x) = 2x² - 12x + 10 na forma fatorada.

Raízes: x = 1 e x = 5 (delta = 64). Com a = 2, a forma fatorada fica f(x) = 2(x - 1)(x - 5).

Calcule o vértice de f(x) = 4x² - 16.

Como b = 0, Xv = 0. Calculando Yv = f(0) = -16. O vértice mínimo está em V(0, -16).

Resolva a inequação x² - 4x + 3 < 0.

Raízes em x = 1 e x = 3. Como a > 0, a função é negativa entre as raízes: {x em R | 1 < x < 3}.

Resolva a inequação x² - 9 >= 0.

Raízes em x = -3 e x = 3. Como a > 0, a função é não-negativa fora das raízes: x <= -3 ou x >= 3.

Como obter o vértice a partir das duas raízes reais x1 e x2?

Pela simetria da parábola, a abscissa do vértice é a média aritmética das raízes: Xv = (x1 + x2) / 2.

Encontre o vértice de f(x) sabendo que as raízes são 1 e 7 e a = 1.

Xv = (1 + 7) / 2 = 4. f(x) = (x - 1)(x - 7) => Yv = f(4) = (3)(-3) = -9. Vértice: (4, -9).

Se o vértice é (2, -3) e a = 1, qual a forma expandida da função?

Forma canônica: f(x) = 1*(x - 2)² - 3 = x² - 4x + 4 - 3 = x² - 4x + 1.

Determine os pontos de interseção de f(x) = x² e g(x) = 2x + 3.

x² = 2x + 3 => x² - 2x - 3 = 0 => (x - 3)(x + 1) = 0. Pontos de interseção: (3, 9) e (-1, 1).

O que indica a abertura da parábola em relação ao valor |a|?

Quanto maior o módulo |a|, mais estreita e fechada é a parábola; quanto menor |a|, mais aberta.

Encontre as raízes de 3x² - 27 = 0.

3x² = 27 => x² = 9 => x = 3 ou x = -3.

Qual o sinal da função f(x) = x² + 1 para qualquer x real?

Como delta = -4 < 0 e a = 1 > 0, f(x) é estritamente positiva para todo x real.

Qual o domínio da função f(x) = ax² + bx + c?

O domínio é todo o conjunto dos números reais (R), pois não há restrições de cálculo.

Uma bola atinge altura h(t) = -5t² + 20t. Qual a altura máxima?

Tempo de pico: tv = -20 / (2*(-5)) = 2 s. Altura máxima: h(2) = -5(4) + 20(2) = 20 metros.

Para quais valores de k a função f(x) = x² - 4x + k tem raiz dupla?

Exige-se delta = 0: (-4)² - 4(1)(k) = 0 => 16 - 4k = 0 => k = 4.

Para quais valores de m a equação x² - 2x + m = 0 não tem raiz real?

Exige-se delta < 0: (-2)² - 4(1)(m) < 0 => 4 - 4m < 0 => 4 < 4m => m > 1.

Encontre o vértice da função f(x) = -3x².

Com b = 0 e c = 0, temos Xv = 0 e Yv = 0. O vértice máximo situa-se na origem (0, 0).

Em qual intervalo a função f(x) = x² - 4x é decrescente?

Xv = 2 e a > 0. A função decresce à esquerda do vértice, ou seja, no intervalo (-infinito, 2].

Em qual intervalo a função f(x) = -x² + 6x é crescente?

Xv = -6 / (-2) = 3 e a < 0. A função cresce à esquerda do vértice máximo: (-infinito, 3].