Geometria Plana

Cartões · 52

Soma dos ângulos internos de um triângulo

S = 180°: a soma das medidas dos três ângulos internos de qualquer triângulo no plano é sempre 180 graus.

Teorema do ângulo externo do triângulo

e = a + b: a medida de um ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.

Condição de existência de um triângulo

|b - c| < a < b + c: a medida de qualquer lado deve ser sempre menor que a soma e maior que a diferença dos outros dois.

Área de um triângulo (fórmula geral)

A = (b * h) / 2: metade do produto entre o comprimento da base e a altura relativa a ela.

Área de um triângulo equilátero

A = (l² * √3) / 4: área expressa diretamente em função do comprimento do lado l.

Altura de um triângulo equilátero

h = (l * √3) / 2: altura calculada diretamente a partir da medida do lado l.

Fórmula de Heron (área do triângulo)

A = √(p(p - a)(p - b)(p - c)): calcula a área conhecendo os três lados, onde p = (a + b + c) / 2 é o semiperímetro.

Área do triângulo com seno do ângulo

A = (a * b * sen(θ)) / 2: metade do produto de dois lados adjacentes pelo seno do ângulo formado entre eles.

Área do triângulo com raio circunscrito (R)

A = (a * b * c) / (4R): produto dos três lados dividido por quatro vezes o raio da circunferência circunscrita.

Área do triângulo com raio inscrito (r)

A = p * r: produto do semiperímetro p pelo raio r da circunferência inscrita.

Teorema de Pitágoras

a² = b² + c²: em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Relação métrica: cateto e projeção

b² = a * m e c² = a * n: o quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela sua projeção sobre ela.

Relação métrica: altura e projeções

h² = m * n: no triângulo retângulo, o quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das projeções dos catetos.

Relação métrica: produto dos lados e altura

a * h = b * c: o produto da hipotenusa pela altura relativa é igual ao produto das medidas dos dois catetos.

Relação métrica: soma dos inversos dos catetos

1/h² = 1/b² + 1/c²: o inverso do quadrado da altura relativa à hipotenusa equivale à soma dos inversos dos quadrados dos catetos.

Teorema de Tales

AB / BC = DE / EF: feixes de retas paralelas cortadas por transversais determinam segmentos proporcionais correspondentes.

Teorema da bissetriz interna

x / y = c / b: a bissetriz interna divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.

Teorema da bissetriz externa

x / y = c / b: a bissetriz do ângulo externo divide externamente a reta suporte do lado oposto proporcionalmente aos lados.

Lei dos Senos

a / sen(A) = b / sen(B) = c / sen(C) = 2R: lados proporcionais aos senos opostos, igual ao diâmetro do círculo circunscrito.

Lei dos Cossenos

a² = b² + c² - 2bc*cos(A): relaciona um lado ao quadrado com os outros dois e o cosseno do ângulo oposto.

Área do quadrado

A = l²: medida da superfície dada pelo quadrado do comprimento do lado.

Perímetro do quadrado

P = 4l: soma dos comprimentos dos quatro lados congruentes.

Diagonal do quadrado

d = l * √2: comprimento do segmento que une dois vértices opostos, obtido via Pitágoras.

Área do retângulo

A = b * h: produto do comprimento da base pela altura.

Perímetro do retângulo

P = 2b + 2h: soma do dobro da base com o dobro da altura.

Diagonal do retângulo

d = √(b² + h²): comprimento obtido pela raiz quadrada da soma dos quadrados dos lados.

Área do paralelogramo

A = b * h: produto da base pela distância perpendicular entre ela e o lado oposto (altura).

Área do losango

A = (D * d) / 2: metade do produto entre os comprimentos da diagonal maior (D) e menor (d).

Perímetro do losango

P = 4l: soma dos quatro lados de mesma medida.

Relação entre diagonais e lado do losango

l² = (D/2)² + (d/2)²: relação pitagórica direta, pois as diagonais cruzam-se perpendicularmente ao meio.

Área do trapézio

A = ((B + b) * h) / 2: semissoma das bases maior e menor multiplicada pela altura.

Base média do trapézio

BM = (B + b) / 2: segmento paralelo às bases que une os pontos médios dos lados oblíquos.

Mediana de Euler do trapézio

ME = (B - b) / 2: comprimento do segmento que une os pontos médios das diagonais do trapézio.

Soma dos ângulos internos de um polígono convexo

Si = (n - 2) * 180°: onde n representa o número total de lados do polígono.

Soma dos ângulos externos de um polígono convexo

Se = 360°: constante para qualquer polígono convexo, independente da quantidade de lados.

Ângulo interno de um polígono regular

ai = ((n - 2) * 180°) / n: divisão da soma dos ângulos internos pela quantidade de vértices congruentes.

Ângulo externo de um polígono regular

ae = 360° / n: divisão da soma total dos ângulos externos pela quantidade de vértices.

Número de diagonais de um polígono

d = n(n - 3) / 2: quantifica todos os segmentos que ligam vértices não adjacentes em um polígono de n lados.

Área de um polígono regular

A = p * a: produto do semiperímetro p pela medida do apótema a.

Área do hexágono regular

A = (3 * l² * √3) / 2: equivale à soma das áreas de seis triângulos equiláteros de lado l.

Comprimento da circunferência

C = 2 * π * r: perímetro da curva circular em função do raio r (ou C = π * d).

Área do círculo

A = π * r²: produto da constante π pelo quadrado da medida do raio.

Comprimento de um arco circular (graus)

s = (π * r * θ) / 180°: fração proporcional do comprimento da circunferência correspondente ao ângulo central θ.

Área do setor circular (graus)

A = (π * r² * θ) / 360°: fração da área total delimitada por dois raios e um ângulo central θ.

Área da coroa circular

A = π * (R² - r²): diferença entre as áreas dos círculos concêntricos de raio maior R e menor r.

Área do segmento circular

A = A_setor - A_triângulo: diferença entre a área do setor correspondente e a do triângulo formado pelos raios e corda.

Ângulo inscrito na circunferência

α = θ / 2: a medida do ângulo com vértice na curva é metade do ângulo central que subentende o mesmo arco.

Potência de ponto: cordas secantes

PA * PB = PC * PD: segmentos formados pelo cruzamento de duas cordas no interior da circunferência multiplicam-se igualmente.

Potência de ponto: reta secante e tangente

PT² = PA * PB: o quadrado do segmento tangente equivale ao produto da secante inteira pela sua parte externa.

Teorema de Pitot (quadrilátero circunscritível)

AB + CD = BC + DA: em todo quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência, a soma dos lados opostos é igual.

Quadrilátero inscritível (ângulos opostos)

A + C = 180° e B + D = 180°: os ângulos opostos de um quadrilátero inscritível em uma circunferência são suplementares.

Teorema de Ptolomeu

d1 * d2 = a * c + b * d: em quadrilátero inscritível, o produto das diagonais é a soma dos produtos dos lados opostos.