Matemática Essencial

Cartões · 51

Equação do 2º Grau: Forma Geral

ax² + bx + c = 0 (com a ≠ 0). Equação polinomial de grau dois com incógnita x e coeficientes reais a, b e c.

Fórmula do Discriminante (Delta)

Δ = b² - 4ac. Valor que determina a quantidade e a natureza das raízes reais da equação.

Fórmula de Bhaskara

x = (-b ± √Δ) / (2a). Utilizada para encontrar as raízes reais da equação a partir dos coeficientes e do delta.

Significado de Δ > 0

A equação possui duas raízes reais e distintas (x1 ≠ x2).

Significado de Δ = 0

A equação possui duas raízes reais e iguais ou apenas uma raiz real dupla (x1 = x2).

Significado de Δ < 0

A equação não possui raízes reais (as raízes pertencem ao conjunto dos números complexos).

Soma das Raízes (Relações de Girard)

S = x1 + x2 = -b / a. Soma das duas soluções reais da equação quadrática.

Produto das Raízes (Relações de Girard)

P = x1 * x2 = c / a. Produto das duas soluções reais da equação quadrática.

Forma Fatorada da Equação do 2º Grau

a(x - x1)(x - x2) = 0. Escreve o polinômio quadrático como produto de termos lineares usando suas raízes.

Vértice da Parábola: Coordenada Xv

Xv = -b / (2a). Abscissa do ponto máximo (a < 0) ou ponto mínimo (a > 0) da função quadrática.

Vértice da Parábola: Coordenada Yv

Yv = -Δ / (4a). Valor máximo (a < 0) ou mínimo (a > 0) assumido pela função quadrática.

Potenciação: Produto de Potências de Mesma Base

a^m * a^n = a^(m + n). Conserva a base e soma os expoentes.

Potenciação: Divisão de Potências de Mesma Base

a^m / a^n = a^(m - n) (com a ≠ 0). Conserva a base e subtrai os expoentes.

Potenciação: Potência de Potência

(a^m)^n = a^(m * n). Conserva a base e multiplica os expoentes.

Potenciação: Potência de um Produto

(a * b)^n = a^n * b^n. O expoente se distribui para cada um dos fatores da multiplicação.

Potenciação: Potência de um Quociente

(a / b)^n = a^n / b^n (com b ≠ 0). O expoente se distribui tanto para o numerador quanto para o denominador.

Potenciação: Expoente Zero

a^0 = 1 (para todo a ≠ 0). Qualquer número real não nulo elevado a zero é igual a um.

Potenciação: Expoente Negativo

a^(-n) = 1 / (a^n) (com a ≠ 0). Inverte-se a base e troca-se o sinal do expoente para positivo.

Potenciação: Expoente Fracionário (Radiciação)

a^(m/n) = n√(a^m) (com n > 0). O denominador da fração vira índice da raiz e o numerador vira expoente do radicando.

PA: Definição de Progressão Aritmética

Sequência numérica onde cada termo a partir do segundo é igual ao anterior somado a uma constante chamada razão (r).

PA: Razão (r)

r = a_(n) - a_(n-1). Diferença constante calculada entre qualquer termo e seu antecessor imediato.

PA: Classificação por Razão

Crescente se r > 0; Decrescente se r < 0; Constante se r = 0.

PA: Fórmula do Termo Geral

an = a1 + (n - 1) * r. Permite calcular qualquer termo an a partir do primeiro termo a1, da razão r e da posição n.

PA: Relação entre Dois Termos Quaisquer

an = ak + (n - k) * r. Determina um termo genérico an a partir de outro termo conhecido ak.

PA: Propriedade do Termo Médio

b = (a + c) / 2 para três termos consecutivos (a, b, c). O termo central é a média aritmética dos vizinhos.

PA: Representação Prática de Três Termos

(x - r, x, x + r). Notação conveniente com soma igual a 3x para facilitar a resolução de problemas.

PA: Soma dos Termos de uma PA Finita

Sn = [(a1 + an) * n] / 2. Soma de Gauss: metade do produto do número de termos pela soma dos extremos.

PG: Definição de Progressão Geométrica

Sequência numérica onde cada termo a partir do segundo é obtido multiplicando o anterior por uma constante (q).

PG: Razão (q)

q = a_(n) / a_(n-1). Quociente constante entre qualquer termo e seu antecessor imediato.

PG: Classificação (para termos positivos)

Crescente se q > 1; Decrescente se 0 < q < 1; Constante se q = 1; Alternante se q < 0.

PG: Fórmula do Termo Geral

an = a1 * q^(n - 1). Calcula o n-ésimo termo conhecendo o primeiro termo a1 e a razão q.

PG: Relação entre Dois Termos Quaisquer

an = ak * q^(n - k). Encontra o termo da posição n a partir de qualquer termo na posição k.

PG: Propriedade do Termo Médio

b² = a * c para termos consecutivos (a, b, c). O quadrado do termo central é o produto dos seus vizinhos.

PG: Representação Prática de Três Termos

(x / q, x, x * q). Notação útil quando o produto dos três termos é fornecido no enunciado.

PG: Soma dos Termos de uma PG Finita

Sn = [a1 * (q^n - 1)] / (q - 1) para q ≠ 1. Total acumulado dos n primeiros termos de uma progressão geométrica.

PG: Soma dos Termos de uma PG Infinita

S = a1 / (1 - q) para |q| < 1. Limite da soma de infinitos termos quando a razão está no intervalo (-1, 1).

PG: Produto dos Termos de uma PG Finita

Pn = √[(a1 * an)^n] ou |Pn| = (a1 * an)^(n/2). Produto resultante da multiplicação dos n primeiros termos.

Juros Simples: Definição

Regime no qual a taxa de juros incide apenas sobre o capital inicial durante todo o período da aplicação.

Juros Simples: Fórmula dos Juros

J = C * i * t. Cálculo dos juros com C = Capital, i = taxa unitária e t = tempo na mesma unidade de i.

Juros Simples: Fórmula do Montante

M = C + J ou M = C * (1 + i * t). Valor final resgatado após a incidência linear dos juros simples.

Juros Simples: Comportamento Gráfico

Função afim / linear. O montante cresce em progressão aritmética ao longo do tempo.

Juros Compostos: Definição

Regime no qual a taxa de juros incide a cada período sobre o montante acumulado anterior (juros sobre juros).

Juros Compostos: Fórmula do Montante

M = C * (1 + i)^t. Valor acumulado com base no capital C, taxa unitária i e tempo t de capitalização.

Juros Compostos: Fórmula dos Juros

J = M - C ou J = C * [(1 + i)^t - 1]. Ganho absoluto obtido pela diferença entre o valor final e o inicial.

Juros Compostos: Comportamento Gráfico

Função exponencial. O montante cresce em progressão geométrica de razão (1 + i) a cada período.

Taxa Proporcional vs Equivalente (Simples)

No regime simples, taxas proporcionais são equivalentes: taxa mensal multiplicada por 12 resulta na taxa anual.

Taxa Equivalente (Juros Compostos)

(1 + i_ano) = (1 + i_mes)^12. Duas taxas são equivalentes quando produzem o mesmo montante no mesmo período.

Equação do 2º Grau Incompleta (c = 0)

ax² + bx = 0 => x(ax + b) = 0. Fatora-se colocando x em evidência: as raízes são x = 0 e x = -b/a.

Equação do 2º Grau Incompleta (b = 0)

ax² + c = 0 => x² = -c/a => x = ±√(-c/a). Isola-se x²; raízes reais existem apenas se -c/a ≥ 0.

Potência com Base Negativa e Expoente Par

(-a)^(2k) > 0. Qualquer número real não nulo elevado a um expoente par resulta em valor positivo.

Potência com Base Negativa e Expoente Ímpar

(-a)^(2k+1) < 0. A potência preserva o sinal negativo da base quando o expoente é ímpar.