Matrizes e Determinantes

Cartões · 58

Definição de Matriz

Tabela retangular de números dispostos em m linhas e n colunas, denotada por m x n.

Elemento a_ij de uma matriz

Indica o número localizado na linha i e na coluna j da matriz.

Matriz Linha

Matriz formada por uma única linha, ou seja, de ordem 1 x n.

Matriz Coluna

Matriz formada por uma única coluna, ou seja, de ordem m x 1.

Matriz Nula

Matriz em que todos os elementos são iguais a zero.

Matriz Quadrada

Matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas (m = n).

Ordem de uma Matriz Quadrada

O número n de linhas (ou colunas) de uma matriz quadrada n x n.

Diagonal Principal

Conjunto dos elementos a_ij de uma matriz quadrada onde os índices são iguais (i = j).

Diagonal Secundária

Conjunto dos elementos a_ij de uma matriz quadrada onde a soma dos índices é n + 1 (i + j = n + 1).

Traço de uma Matriz

Soma de todos os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada.

Matriz Diagonal

Matriz quadrada em que todos os elementos fora da diagonal principal são iguais a zero.

Matriz Escalar

Matriz diagonal em que todos os elementos da diagonal principal são iguais entre si.

Matriz Identidade (I_n)

Matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são todos iguais a 1.

Propriedade da Matriz Identidade

Para qualquer matriz A compatível, A * I = I * A = A.

Matriz Triangular Superior

Matriz quadrada em que todos os elementos abaixo da diagonal principal são iguais a zero (a_ij = 0 para i > j).

Matriz Triangular Inferior

Matriz quadrada em que todos os elementos acima da diagonal principal são iguais a zero (a_ij = 0 para i < j).

Matriz Transposta (A^t)

Matriz obtida trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas da matriz original.

Propriedade: (A^t)^t

A transposta da transposta de uma matriz é igual à matriz original: (A^t)^t = A.

Propriedade: (A + B)^t

A transposta da soma é igual à soma das transpostas: (A + B)^t = A^t + B^t.

Propriedade: (k * A)^t

Para qualquer escalar k, (k * A)^t = k * A^t.

Propriedade: (A * B)^t

A transposta do produto inverte a ordem dos fatores: (A * B)^t = B^t * A^t.

Matriz Simétrica

Matriz quadrada que é igual à sua própria transposta: A = A^t.

Matriz Antissimétrica

Matriz quadrada igual ao oposto da sua transposta: A = -A^t (sua diagonal principal é sempre nula).

Matriz Oposta (-A)

Matriz cujos elementos têm o sinal invertido em relação aos elementos correspondentes de A.

Adição de Matrizes

Operação permitida apenas entre matrizes de mesma ordem, somando-se os elementos correspondentes: c_ij = a_ij + b_ij.

Multiplicação por Escalar

Multiplicação de todos os elementos da matriz pelo número real k: (k * A)_ij = k * a_ij.

Condição para Multiplicação de Matrizes (A * B)

O número de colunas da matriz A deve ser igual ao número de linhas da matriz B.

Elemento do Produto Matricial (A * B)_ij

Soma dos produtos dos elementos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B.

Comutatividade no Produto de Matrizes

Em geral, o produto de matrizes não é comutativo: A * B != B * A.

Matriz Idempotente

Matriz quadrada que, multiplicada por si mesma, resulta nela própria: A^2 = A.

Matriz Nilpotente

Matriz quadrada para a qual existe um número inteiro positivo k tal que A^k = 0.

Matriz Involutiva

Matriz quadrada cujo quadrado resulta na matriz identidade: A^2 = I.

Matriz Ortogonal

Matriz quadrada invertível cuja transposta é igual à sua inversa: A^t = A^(-1), logo A * A^t = I.

Definição de Determinante

Número real associado a uma matriz quadrada que reflete certas propriedades geométricas e algébricas.

Determinante de Matriz de Ordem 1

Para A = [a_11], det(A) = a_11.

Determinante de Matriz de Ordem 2

det([a, b; c, d]) = a * d - b * c (produto da diagonal principal menos o da secundária).

Regra de Sarrus

Método prático para calcular determinantes de ordem 3 repetindo as duas primeiras colunas à direita.

Menor Complementar (D_ij)

Determinante da submatriz obtida ao eliminar a linha i e a coluna j da matriz original.

Cofator (A_ij)

Valor dado por (-1)^(i+j) multiplicado pelo menor complementar D_ij: A_ij = (-1)^(i+j) * D_ij.

Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz de ordem n é a soma dos produtos dos elementos de qualquer fila pelos seus cofatores.

Determinante com Fila Nula

Se uma matriz possui uma linha ou coluna inteira de zeros, seu determinante é igual a zero.

Determinante com Filas Iguais

Se uma matriz possui duas linhas ou duas colunas iguais, seu determinante é zero.

Determinante com Filas Proporcionais

Se uma matriz possui duas linhas ou duas colunas proporcionais, seu determinante é zero.

Troca de Filas Paralelas no Determinante

Trocar a posição de duas linhas ou duas colunas entre si inverte o sinal do determinante.

Multiplicação de uma Fila por um Escalar k

Multiplicar todos os elementos de uma linha ou coluna por k multiplica o determinante por k.

Determinante de k * A (Ordem n)

Para uma matriz A de ordem n e escalar k: det(k * A) = k^n * det(A).

Determinante da Matriz Transposta

O determinante da matriz transposta é igual ao da matriz original: det(A^t) = det(A).

Teorema de Jacobi

O determinante não se altera ao somar a uma fila uma combinação linear de outras filas paralelas.

Determinante de Matriz Triangular

O determinante de matriz triangular é o produto de todos os elementos de sua diagonal principal.

Teorema de Binet

O determinante do produto de matrizes quadradas é o produto dos determinantes: det(A * B) = det(A) * det(B).

Determinante de Matriz Inversa

O determinante da inversa é o inverso do determinante original: det(A^(-1)) = 1 / det(A).

Matriz Singular

Matriz quadrada cujo determinante é igual a zero (det(A) = 0), logo não possui inversa.

Matriz Não Singular (Invertível)

Matriz quadrada cujo determinante é diferente de zero (det(A) != 0), garantindo a existência de inversa.

Matriz Adjunta

Transposta da matriz dos cofatores: Adj(A) = (Cof(A))^t.

Fórmula da Inversa pela Adjunta

A^(-1) = (1 / det(A)) * Adj(A).

Regra de Chió

Técnica para reduzir a ordem de um determinante de ordem n para n-1 quando a_11 = 1.

Determinante de Vandermonde

Determinante formado por potências sucessivas de elementos, calculado pelo produto das diferenças (x_j - x_i) para j > i.

Regra de Cramer

Método para resolver sistemas lineares compatíveis determinados usando quocientes de determinantes: x_i = det(A_i) / det(A).