Equação do 2º Grau

Cartões · 53

Forma geral da equação do 2º grau

ax² + bx + c = 0, com a diferente de 0.

Fórmula do discriminante (delta)

Δ = b² - 4ac

Fórmula de Bhaskara para encontrar x

x = (-b ± √Δ) / (2a)

O que significa Δ > 0?

A equação possui duas raízes reais e distintas.

O que significa Δ = 0?

A equação possui duas raízes reais e iguais (raiz dupla).

O que significa Δ < 0?

A equação não possui raízes reais (pertencem ao conjunto dos números complexos).

Fórmula da soma das raízes (S)

S = x1 + x2 = -b / a

Fórmula do produto das raízes (P)

P = x1 * x2 = c / a

Escrever a equação a partir da soma S e produto P com a = 1

x² - Sx + P = 0

Abscissa do vértice da parábola (Xv)

Xv = -b / (2a)

Ordenada do vértice da parábola (Yv)

Yv = -Δ / (4a)

Equação incompleta com b = 0: ax² + c = 0

Isola-se x²: x² = -c/a, logo x = ±√(-c/a).

Equação incompleta com c = 0: ax² + bx = 0

Fatora-se x: x(ax + b) = 0, logo x = 0 ou x = -b/a.

Resolver: x² - 9 = 0

x² = 9 => x = ±3. Raízes: {-3, 3}.

Resolver: 2x² - 32 = 0

2x² = 32 => x² = 16 => x = ±4. Raízes: {-4, 4}.

Resolver: x² + 16 = 0 nos reais

x² = -16. Não possui raízes reais.

Resolver: x² - 5x = 0

x(x - 5) = 0 => x = 0 ou x = 5. Raízes: {0, 5}.

Resolver: 3x² + 6x = 0

3x(x + 2) = 0 => x = 0 ou x = -2. Raízes: {-2, 0}.

Resolver: x² - 5x + 6 = 0 por Bhaskara

Δ = 25 - 24 = 1. x = (5 ± 1)/2 => x1 = 3, x2 = 2.

Resolver: x² - 5x + 6 = 0 por soma e produto

S = 5 e P = 6. Dois números cuja soma é 5 e produto é 6: 2 e 3.

Resolver: x² - 7x + 10 = 0

S = 7 e P = 10 => Raízes: 2 e 5.

Resolver: x² - 2x + 1 = 0

Δ = 4 - 4 = 0. Quadrado perfeito: (x - 1)² = 0 => x = 1 (raiz dupla).

Resolver: x² - 6x + 9 = 0

Δ = 36 - 36 = 0. Quadrado perfeito: (x - 3)² = 0 => x = 3 (raiz dupla).

Resolver: x² + 4x + 4 = 0

Δ = 16 - 16 = 0. (x + 2)² = 0 => x = -2 (raiz dupla).

Resolver: x² + x - 6 = 0

S = -1 e P = -6 => Números: -3 e 2. Raízes: {-3, 2}.

Resolver: x² - 3x - 10 = 0

S = 3 e P = -10 => Números: 5 e -2. Raízes: {-2, 5}.

Resolver: x² + 2x - 15 = 0

S = -2 e P = -15 => Números: -5 e 3. Raízes: {-5, 3}.

Resolver: 2x² - 7x + 3 = 0

Δ = 49 - 24 = 25. x = (7 ± 5)/4 => x1 = 3, x2 = 1/2.

Resolver: 2x² + 5x - 3 = 0

Δ = 25 - 4(2)(-3) = 49. x = (-5 ± 7)/4 => x1 = 1/2, x2 = -3.

Resolver: 3x² - 10x + 3 = 0

Δ = 100 - 36 = 64. x = (10 ± 8)/6 => x1 = 3, x2 = 1/3.

Método de completar quadrados: x² + 6x - 7 = 0

x² + 6x = 7 => x² + 6x + 9 = 16 => (x + 3)² = 16 => x + 3 = ±4 => x = 1 ou x = -7.

Método de completar quadrados: termo a somar em x² + bx

Soma-se (b/2)² a ambos os lados da igualdade.

Fatoração do trinômio ax² + bx + c usando as raízes

ax² + bx + c = a(x - x1)(x - x2)

Fatorar: 2x² - 8x + 6 sabendo que as raízes são 1 e 3

2(x - 1)(x - 3)

Condição para a parábola ter concavidade voltada para cima

Coeficiente a > 0.

Condição para a parábola ter concavidade voltada para baixo

Coeficiente a < 0.

Ponto onde a parábola cruza o eixo y

No ponto (0, c), onde x = 0.

Como resolver equações biquadradas: ax⁴ + bx² + c = 0

Substitui-se y = x² obtendo ay² + by + c = 0, resolve-se para y e depois extrai-se x = ±√y.

Resolver: x⁴ - 5x² + 4 = 0

y = x² => y² - 5y + 4 = 0 => y = 1 ou y = 4. Logo, x = ±1 ou x = ±2.

Resolver: x⁴ - 13x² + 36 = 0

y = x² => y² - 13y + 36 = 0 => y = 4 ou y = 9. Logo, x = ±2 ou x = ±3.

Resolver: x⁴ - 10x² + 9 = 0

y = x² => y² - 10y + 9 = 0 => y = 1 ou y = 9. Logo, x = ±1 ou x = ±3.

Equação fracionária: (x + 1)/x = 2/x + 4

Multiplica-se por x (com x ≠ 0): x + 1 = 2 + 4x => 3x = -1 => x = -1/3.

Equação irracional: √(x + 5) = x - 1

Eleva ao quadrado: x + 5 = x² - 2x + 1 => x² - 3x - 4 = 0 => x = 4 ou x = -1. Testando: apenas x = 4 é válida.

Condição para que ax² + bx + c = 0 tenha raízes simétricas (opostas)

b = 0 (desde que -c/a > 0 para raízes reais).

Condição para que ax² + bx + c = 0 tenha uma raiz nula

c = 0 (pois x(ax + b) = 0 resulta em x = 0).

Condição para que as raízes sejam inversas (x1 = 1/x2)

c = a, pois o produto P = c/a deve ser igual a 1.

Diferença de quadrados: a² - b²

(a - b)(a + b)

Resolver: 4x² - 25 = 0

(2x - 5)(2x + 5) = 0 => x = 5/2 ou x = -5/2.

Resolver: (x - 3)² = 16

x - 3 = ±4 => x = 3 ± 4 => x = 7 ou x = -1.

Resolver: (2x + 1)² = 9

2x + 1 = ±3 => 2x = 2 (x=1) ou 2x = -4 (x=-2). Raízes: {-2, 1}.

Resolver: x² - 4x + 5 = 0 nos reais

Δ = 16 - 20 = -4. Como Δ < 0, não existem raízes reais.

Valor de k para que x² - 6x + k = 0 tenha raiz dupla

Δ = 0 => (-6)² - 4(1)(k) = 0 => 36 - 4k = 0 => k = 9.

Valor de k para que 2x² + 4x + k = 0 tenha raízes reais distintas

Δ > 0 => 16 - 4(2)(k) > 0 => 16 - 8k > 0 => k < 2.