Equações do 2º Grau

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Forma geral da equação do 2º grau

ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são coeficientes reais e a ≠ 0.

Fórmula do discriminante (Delta)

Δ = b² - 4ac

Fórmula de Bhaskara

x = (-b ± √Δ) / (2a)

Significado de Δ > 0

A equação possui duas raízes reais distintas.

Significado de Δ = 0

A equação possui duas raízes reais e iguais (uma raiz dupla): x = -b / (2a).

Significado de Δ < 0

A equação não possui raízes reais (as raízes pertencem ao conjunto dos complexos).

Equação incompleta com b = 0 e c ≠ 0

ax² + c = 0. Isola-se x²: x² = -c/a, logo x = ±√(-c/a).

Equação incompleta com c = 0 e b ≠ 0

ax² + bx = 0. Coloca-se x em evidência: x(ax + b) = 0. Raízes: x = 0 ou x = -b/a.

Equação incompleta com b = 0 e c = 0

ax² = 0. A única raiz é x = 0 (raiz dupla).

Relação de Girard: Soma das raízes (S)

S = x1 + x2 = -b / a

Relação de Girard: Produto das raízes (P)

P = x1 * x2 = c / a

Formação da equação a partir da soma e produto

x² - Sx + P = 0, onde S é a soma e P é o produto das raízes.

Forma fatorada da equação do 2º grau

a(x - x1)(x - x2) = 0, onde x1 e x2 são as raízes da equação.

Método de completar quadrados: 1º passo em ax² + bx + c = 0

Dividir todos os termos por 'a' para obter x² + (b/a)x + c/a = 0.

Método de completar quadrados: 2º passo

Mover o termo constante para o outro lado: x² + (b/a)x = -c/a.

Método de completar quadrados: 3º passo

Somar [b/(2a)]² em ambos os lados para formar um trinômio quadrado perfeito.

Coordenada X do vértice da parábola (xv)

xv = -b / (2a)

Coordenada Y do vértice da parábola (yv)

yv = -Δ / (4a)

Resolução de: x² - 9 = 0

x² = 9 => x = ±√9 => x = 3 ou x = -3.

Resolução de: 2x² - 32 = 0

2x² = 32 => x² = 16 => x = ±4.

Resolução de: x² + 16 = 0 nos Reais

x² = -16. Não possui raiz real, pois raiz de número negativo não pertence aos reais.

Resolução de: x² - 5x = 0

Fatorando: x(x - 5) = 0 => x = 0 ou x - 5 = 0 => x = 0 ou x = 5.

Resolução de: 3x² + 12x = 0

Fatorando: 3x(x + 4) = 0 => x = 0 ou x + 4 = 0 => x = 0 ou x = -4.

Resolução de: x² - 5x + 6 = 0 por Bhaskara

Δ = 25 - 24 = 1. x = (5 ± 1)/2 => x1 = 3 e x2 = 2.

Resolução de: x² - 5x + 6 = 0 por Soma e Produto

S = 5 e P = 6. Dois números que somados dão 5 e multiplicados dão 6 são 2 e 3.

Resolução de: x² - 7x + 10 = 0

S = 7 e P = 10. Dois números: 2 e 5. Raízes: x = 2 e x = 5.

Resolução de: x² + 3x - 10 = 0

Δ = 9 - 4(1)(-10) = 49. x = (-3 ± 7)/2 => x1 = 2 e x2 = -5.

Resolução de: x² - 6x + 9 = 0

Trinômio quadrado perfeito: (x - 3)² = 0 => x = 3 (raiz dupla).

Resolução de: 2x² - 8x + 6 = 0

Divide por 2: x² - 4x + 3 = 0. Soma = 4, Produto = 3 => x = 1 e x = 3.

Resolução de: x² - 4 = 0

x² = 4 => x = ±2.

Resolução de: (x - 3)(x + 2) = 0

Produto nulo: x - 3 = 0 ou x + 2 = 0 => x = 3 ou x = -2.

Resolução de: (2x - 1)² = 0

2x - 1 = 0 => 2x = 1 => x = 1/2 (raiz dupla).

Resolução de: (x + 4)² = 25

x + 4 = ±√25 => x + 4 = ±5 => x = 1 ou x = -9.

Resolução de: x² - 2x + 5 = 0

Δ = 4 - 4(1)(5) = -16. Como Δ < 0, a equação não possui raízes reais.

Resolução de: -x² + 7x - 12 = 0

Multiplicando por -1: x² - 7x + 12 = 0. S = 7, P = 12 => x = 3 e x = 4.

Resolução de: 4x² - 1 = 0

4x² = 1 => x² = 1/4 => x = ±1/2.

Resolução de: 5x² - 20x = 0

5x(x - 4) = 0 => x = 0 ou x = 4.

Resolução de: x² + x - 12 = 0

S = -1 e P = -12. Números: 3 e -4. Raízes: x = 3 e x = -4.

Resolução de: x² - 8x + 16 = 0

Trinômio quadrado perfeito: (x - 4)² = 0 => x = 4 (raiz dupla).

Resolução de: 3x² - 27 = 0

3x² = 27 => x² = 9 => x = ±3.

O que é uma equação biquadrada?

Equação da forma ax⁴ + bx² + c = 0. Resolve-se substituindo y = x² para torná-la do 2º grau.

Resolução de: x⁴ - 5x² + 4 = 0

Seja y = x²: y² - 5y + 4 = 0 => y = 1 ou y = 4. Logo, x = ±1 ou x = ±2.

O que é uma equação fracionária redutível ao 2º grau?

Equação com incógnita no denominador que, ao eliminar os denominadores pelo MMC, vira uma do 2º grau.

Condição de existência para equações fracionárias

Os valores das incógnitas não podem anular nenhum dos denominadores (denominador ≠ 0).

O que é uma equação irracional?

Equação que apresenta incógnita sob radical, resolvida elevando ambos os membros a uma potência.

Resolução de: √(x + 6) = x

Eleva ao quadrado: x + 6 = x² => x² - x - 6 = 0 => x = 3 ou x = -2. Verificação: x = 3 é válida.

Por que verificar raízes em equações irracionais?

Elevar ao quadrado pode introduzir raízes estranhas que não satisfazem a equação original.

Resolução de: x(x - 3) = 4

Distribui: x² - 3x = 4 => x² - 3x - 4 = 0 => (x - 4)(x + 1) = 0 => x = 4 ou x = -1.

Resolução de: 2x² = 50

x² = 25 => x = ±5.

Resolução de: x² - 10x + 25 = 0

Trinômio quadrado perfeito: (x - 5)² = 0 => x = 5 (raiz dupla).

Resolução de: x² + 2x - 35 = 0

S = -2 e P = -35. Os números são 5 e -7. Raízes: x = 5 e x = -7.

Resolução de: 6x² - x - 2 = 0

Δ = 1 - 4(6)(-2) = 49. x = (1 ± 7)/12 => x1 = 8/12 = 2/3 e x2 = -6/12 = -1/2.

Resolução de: x² - 2x = 0

x(x - 2) = 0 => x = 0 ou x = 2.