Fórmulas de PA e PG

Cartões · 50

Definição de Progressão Aritmética (PA)

Sequência onde cada termo é o anterior somado a uma constante: a(n) = a(n-1) + r, onde r é a razão.

Fórmula do termo geral da PA

a(n) = a(1) + (n - 1) * r. a(n): enésimo termo; a(1): primeiro termo; n: posição do termo; r: razão.

Cálculo da razão (r) de uma PA

r = a(n) - a(n-1). r: razão da PA; a(n): termo atual; a(n-1): termo antecedente.

Relação entre dois termos quaisquer de uma PA

a(n) = a(k) + (n - k) * r. a(n): termo de ordem n; a(k): termo de ordem k; r: razão.

Condição para uma PA ser crescente

r > 0. r: razão da progressão aritmética.

Condição para uma PA ser decrescente

r < 0. r: razão da progressão aritmética.

Condição para uma PA ser constante

r = 0. r: razão da progressão aritmética; todos os termos são iguais.

Propriedade do termo médio de 3 termos em PA

b = (a + c) / 2. b: termo central; a e c: termos equidistantes em uma PA (a, b, c).

Representação prática de 3 termos em PA

(x - r, x, x + r). x: termo central; r: razão da PA.

Representação prática de 4 termos em PA

(x - 3y, x - y, x + y, x + 3y). x: média dos termos; 2y: razão da PA.

Representação prática de 5 termos em PA

(x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r). x: termo central; r: razão da PA.

Soma dos termos equidistantes dos extremos em PA

a(k) + a(n-k+1) = a(1) + a(n). a(1) e a(n): extremos da PA finita com n termos.

Soma dos n primeiros termos de uma PA finita

S(n) = [(a(1) + a(n)) * n] / 2. S(n): soma; a(1): primeiro termo; a(n): enésimo termo; n: quantidade de termos.

Soma da PA em função apenas de a(1), n e r

S(n) = n * a(1) + [n * (n - 1) * r] / 2. S(n): soma total; a(1): primeiro termo; r: razão; n: número de termos.

Termo geral da PA a partir da soma S(n)

a(n) = S(n) - S(n-1) para n > 1. a(n): enésimo termo; S(n): soma de n termos; S(n-1): soma de n-1 termos.

Interpolação de k meios aritméticos entre a e b

r = (b - a) / (k + 1). r: razão obtida; a: primeiro termo; b: último termo; k: número de meios inseridos.

Número total de termos ao interpolar k meios aritméticos

n = k + 2. n: total de termos da PA; k: meios aritméticos interpolados.

Termo central de uma PA com n ímpar

a_c = a((n + 1) / 2). a_c: termo central; n: quantidade ímpar de termos.

Soma de PA finita com quantidade ímpar de termos

S(n) = n * a_c. S(n): soma dos n termos; n: quantidade ímpar de termos; a_c: termo central.

Definição de Progressão Geométrica (PG)

Sequência onde cada termo é o anterior multiplicado por uma constante: a(n) = a(n-1) * q, onde q é a razão.

Fórmula do termo geral da PG

a(n) = a(1) * q^(n - 1). a(n): enésimo termo; a(1): primeiro termo; q: razão; n: posição do termo.

Cálculo da razão (q) de uma PG

q = a(n) / a(n-1). q: razão da PG; a(n): termo atual; a(n-1): termo antecedente (não nulo).

Relação entre dois termos quaisquer de uma PG

a(n) = a(k) * q^(n - k). a(n): termo de ordem n; a(k): termo de ordem k; q: razão.

Condição para uma PG ser crescente com termos positivos

a(1) > 0 e q > 1. a(1): primeiro termo; q: razão da PG.

Condição para uma PG ser crescente com termos negativos

a(1) < 0 e 0 < q < 1. a(1): primeiro termo; q: razão da PG.

Condição para uma PG ser decrescente com termos positivos

a(1) > 0 e 0 < q < 1. a(1): primeiro termo; q: razão da PG.

Condição para uma PG ser decrescente com termos negativos

a(1) < 0 e q > 1. a(1): primeiro termo; q: razão da PG.

Condição para uma PG ser oscilante ou alternante

q < 0 e a(1) diferente de 0. q: razão negativa; termos alternam de sinal a cada passo.

Condição para uma PG ser constante

q = 1 ou (a(1) = 0 e qualquer q). q: razão da progressão geométrica.

Condição para uma PG ser quase nula ou estacionária

a(1) diferente de 0 e q = 0. A partir do segundo termo, todos tornam-se iguais a 0.

Propriedade do termo médio de 3 termos em PG

b^2 = a * c. b: termo central; a e c: termos equidistantes em uma PG (a, b, c).

Representação prática de 3 termos em PG

(x / q, x, x * q). x: termo central; q: razão da PG (q diferente de 0).

Representação prática de 4 termos em PG

(x / y^3, x / y, x * y, x * y^3). x: base proporcional; y^2: razão da PG.

Representação prática de 5 termos em PG

(x / q^2, x / q, x, x * q, x * q^2). x: termo central; q: razão da PG.

Produto dos termos equidistantes dos extremos em PG

a(k) * a(n-k+1) = a(1) * a(n). a(1) e a(n): extremos da PG finita de n termos.

Soma dos n primeiros termos de PG finita (q diferente de 1)

S(n) = a(1) * (q^n - 1) / (q - 1). S(n): soma; a(1): primeiro termo; q: razão; n: número de termos.

Soma dos n primeiros termos de uma PG constante com q = 1

S(n) = n * a(1). S(n): soma dos termos; n: quantidade de termos; a(1): primeiro termo.

Soma dos termos de uma PG infinita convergente

S = a(1) / (1 - q). S: limite da soma infinita; a(1): primeiro termo; válido apenas quando |q| < 1.

Condição de convergência da série geométrica infinita

|q| < 1 (ou -1 < q < 1). q: razão da PG para que a soma infinita convirja a um valor finito.

Produto dos n primeiros termos de uma PG finita

P(n) = mais ou menos raiz quadrada de [a(1) * a(n)]^n. P(n): produto total; a(1): primeiro termo; a(n): enésimo termo.

Fórmula logarítmica do produto dos termos da PG

log|P(n)| = (n / 2) * [log|a(1)| + log|a(n)|]. P(n): produto de n termos; a(1) e a(n): extremos.

Interpolação de k meios geométricos entre a e b

q = (b / a)^(1 / (k + 1)). q: razão obtida; a: primeiro termo; b: último termo; k: quantidade de meios.

Termo central de uma PG com n ímpar

a_c^2 = a(1) * a(n). a_c: termo central; a(1): primeiro termo; a(n): último termo de n termos ímpares.

Transformação de PG em PA via logaritmos

Se (a, b, c) é PG de termos positivos, então (log a, log b, log c) é PA de razão r = log q.

Transformação de PA em PG via exponenciação

Se (x, y, z) é PA de razão r e base k > 0 (k != 1), então (k^x, k^y, k^z) é PG de razão q = k^r.

Classificação da PA de segunda ordem

Sequência cujas diferenças de termos sucessivos formam uma PA de razão constante não nula.

Fórmula do termo geral da PA de segunda ordem

a(n) = A * n^2 + B * n + C. a(n): enésimo termo; A, B e C: coeficientes reais constantes.

Diferença entre termos quadráticos consecutivos em PA

a(n+1)^2 - a(n)^2 = 2 * r * a(n) + r^2. a(n): termo de ordem n; r: razão da PA.

Média harmônica entre termos em PA

H = (2 * a * c) / (a + c). H: termo médio de progressão harmônica, cujos inversos estão em PA.

Soma de termos de uma progressão aritmético-geométrica (PAG)

S - q*S = a(1)*b(1) + r * soma[b(k)]. Combinação termo a termo de PA a(n) com PG b(n).