Progressão Aritmética e Geométrica

Cartões · 31

O que é uma Progressão Aritmética (PA)?

Uma sequência numérica onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante chamada razão (r).

O que é uma Progressão Geométrica (PG)?

Uma sequência numérica onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante chamada razão (q).

Fórmula do termo geral da PA

an = a1 + (n - 1) * r, onde an é o n-ésimo termo, a1 é o primeiro termo, n é a posição e r é a razão.

Fórmula do termo geral da PG

an = a1 * q^(n - 1), onde an é o n-ésimo termo, a1 é o primeiro termo, n é a posição e q é a razão.

Como calcular a razão (r) de uma PA?

Subtraindo qualquer termo pelo seu antecedente: r = a(k) - a(k-1). Exemplo: na PA (2, 5, 8), r = 5 - 2 = 3.

Como calcular a razão (q) de uma PG?

Dividindo qualquer termo pelo seu antecedente: q = a(k) / a(k-1). Exemplo: na PG (3, 6, 12), q = 6 / 3 = 2.

Exemplo PA: Calcular o 10º termo da PA (3, 7, 11, ...)

Passo 1: Identificar a1 = 3 e r = 7 - 3 = 4. Passo 2: Aplicar a fórmula a10 = 3 + (10 - 1) * 4. Passo 3: a10 = 3 + 9 * 4 = 3 + 36 = 39.

Exemplo PG: Calcular o 5º termo da PG (2, 6, 18, ...)

Passo 1: Identificar a1 = 2 e q = 6 / 2 = 3. Passo 2: Aplicar a fórmula a5 = 2 * 3^(5 - 1). Passo 3: a5 = 2 * 3^4 = 2 * 81 = 162.

Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA finita

Sn = ((a1 + an) * n) / 2

Exemplo PA: Calcular a soma dos 10 primeiros termos de (3, 7, 11, ..., 39)

Passo 1: Identificar a1 = 3, a10 = 39 e n = 10. Passo 2: Aplicar a fórmula S10 = ((3 + 39) * 10) / 2. Passo 3: S10 = (42 * 10) / 2 = 420 / 2 = 210.

Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG finita

Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1), para q != 1.

Exemplo PG: Calcular a soma dos 4 primeiros termos de (2, 6, 18, 54)

Passo 1: Identificar a1 = 2, q = 3 e n = 4. Passo 2: Aplicar S4 = 2 * (3^4 - 1) / (3 - 1). Passo 3: S4 = 2 * (81 - 1) / 2 = 80.

Fórmula da soma de uma PG infinita (quando -1 < q < 1)

S = a1 / (1 - q)

Exemplo PG infinita: Calcular a soma de 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Passo 1: Identificar a1 = 1 e q = 1/2. Passo 2: Verificar |q| < 1. Passo 3: Aplicar S = 1 / (1 - 1/2) = 1 / (1/2) = 2.

Classificação da PA segundo a razão (r)

Crescente se r > 0; Decrescente se r < 0; Constante se r = 0.

Classificação da PG segundo a razão (q) com termos positivos

Crescente se q > 1; Decrescente se 0 < q < 1; Constante se q = 1; Alternada se q < 0.

Propriedade da média aritmética na PA

Em três termos consecutivos de uma PA (a, b, c), o termo central é a média aritmética dos outros dois: b = (a + c) / 2.

Propriedade da média geométrica na PG

Em três termos consecutivos positivos de uma PG (a, b, c), o termo central ao quadrado é o produto dos outros dois: b^2 = a * c.

Como interpolar k meios aritméticos entre A e B?

O número total de termos será n = k + 2. Encontre a razão r usando B = A + (n - 1) * r e monte a sequência.

Como interpolar k meios geométricos entre A e B?

O número total de termos será n = k + 2. Encontre a razão q usando B = A * q^(n - 1) e monte a sequência.

Exemplo Interpolação PA: Inserir 3 meios aritméticos entre 2 e 14

Passo 1: n = 3 + 2 = 5 termos. a1 = 2, a5 = 14. Passo 2: 14 = 2 + 4r -> 12 = 4r -> r = 3. Passo 3: PA = (2, 5, 8, 11, 14).

Exemplo Interpolação PG: Inserir 2 meios geométricos entre 3 e 24

Passo 1: n = 2 + 2 = 4 termos. a1 = 3, a4 = 24. Passo 2: 24 = 3 * q^3 -> q^3 = 8 -> q = 2. Passo 3: PG = (3, 6, 12, 24).

Propriedade dos termos equidistantes dos extremos numa PA finita

A soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma do primeiro com o último termo: ak + an-k+1 = a1 + an.

Propriedade dos termos equidistantes dos extremos numa PG finita

O produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto do primeiro pelo último termo: ak * an-k+1 = a1 * an.

Fórmula do produto dos n primeiros termos de uma PG

Pn = (a1 * an)^(n / 2) ou Pn = a1^n * q^(n*(n-1)/2).

Representação prática de 3 termos em PA para resolver problemas

(x - r, x, x + r). A soma dos três termos simplifica para 3x.

Representação prática de 3 termos em PG para resolver problemas

(x / q, x, x * q). O produto dos três termos simplifica para x^3.

Diferença principal no crescimento entre PA e PG

A PA cresce de forma linear (aditiva), enquanto a PG cresce de forma exponencial (multiplicativa).

O que acontece com a soma de uma PG infinita se q >= 1?

A soma diverge, ou seja, tende ao infinito e não possui um valor finito definido.

Exemplo PA: Encontrar a razão se a1 = 5 e a8 = 26

Passo 1: Usar a8 = a1 + 7r. Passo 2: 26 = 5 + 7r -> 21 = 7r. Passo 3: r = 3.

Exemplo PG: Encontrar a razão se a1 = 5 e a4 = 40

Passo 1: Usar a4 = a1 * q^3. Passo 2: 40 = 5 * q^3 -> q^3 = 8. Passo 3: q = 2.