Progressão Aritmética e Geométrica

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Definição de Progressão Aritmética (PA)

Sequência numérica onde a diferença entre cada termo e seu antecedente é constante, chamada de razão (r).

Razão de uma PA (r)

Valor constante somado a cada termo para obter o seguinte: r = a(n) - a(n-1).

Fórmula do termo geral da PA

a(n) = a(1) + (n - 1) * r

Termo geral da PA em função de um termo qualquer a(k)

a(n) = a(k) + (n - k) * r

Classificação da PA: Crescente

Ocorre quando a razão é positiva (r > 0).

Classificação da PA: Decrescente

Ocorre quando a razão é negativa (r < 0).

Classificação da PA: Constante

Ocorre quando a razão é igual a zero (r = 0), mantendo todos os termos iguais.

Propriedade da média aritmética na PA

Em três termos consecutivos (a, b, c), o termo do meio é a média aritmética dos outros dois: b = (a + c) / 2.

Soma dos termos equidistantes dos extremos em uma PA finita

A soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma do primeiro com o último termo: a(p) + a(q) = a(1) + a(n).

Fórmula da soma dos n primeiros termos da PA finita

S(n) = [(a(1) + a(n)) * n] / 2

Soma dos n primeiros termos da PA expressa apenas com a(1), n e r

S(n) = [2 * a(1) + (n - 1) * r] * n / 2

Representação prática de 3 termos em PA

(x - r, x, x + r), onde a razão é r e o termo central é x.

Representação prática de 4 termos em PA

(x - 3y, x - y, x + y, x + 3y), onde a razão é 2y.

Representação prática de 5 termos em PA

(x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r), com razão r.

Interpolação aritmética (inserir k meios aritméticos)

Determinar a razão r = (b - a) / (k + 1) para inserir k termos entre os extremos a e b.

Número total de termos em uma interpolação de k meios

n = k + 2 (os k meios mais os dois extremos).

Relação entre função afim e PA

Uma PA é a discretização de uma função afim f(x) = ax + b, onde a razão r corresponde ao coeficiente angular a.

Termo central de uma PA com número ímpar de termos

a(c) = S(n) / n, ou seja, a média aritmética dos termos da PA.

Definição de Progressão Geométrica (PG)

Sequência numérica onde a razão entre qualquer termo e seu antecessor imediato é constante (q).

Razão de uma PG (q)

Fator constante multiplicado por cada termo para obter o sucessor: q = a(n) / a(n-1).

Fórmula do termo geral da PG

a(n) = a(1) * q^(n - 1)

Termo geral da PG em função de um termo genérico a(k)

a(n) = a(k) * q^(n - k)

Classificação da PG: Crescente

Quando a(1) > 0 e q > 1, ou quando a(1) < 0 e 0 < q < 1.

Classificação da PG: Decrescente

Quando a(1) > 0 e 0 < q < 1, ou quando a(1) < 0 e q > 1.

Classificação da PG: Constante

Quando todos os termos são iguais, ocorrendo se q = 1 (ou com a(1) = 0 e qualquer q).

Classificação da PG: Oscilante (ou Alternante)

Ocorre quando a razão é negativa (q < 0), alternando os sinais dos termos sucessivos.

Classificação da PG: Quase nula ou Estacionária

Quando a(1) != 0 e q = 0, tornando todos os termos nulos a partir do segundo.

Propriedade da média geométrica na PG

Em três termos positivos consecutivos (a, b, c), o termo do meio ao quadrado é igual ao produto dos extremos: b^2 = a * c.

Produto dos termos equidistantes dos extremos em uma PG finita

O produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos: a(p) * a(q) = a(1) * a(n).

Fórmula da soma dos n primeiros termos da PG finita (q != 1)

S(n) = [a(1) * (q^n - 1)] / (q - 1)

Fórmula da soma de uma PG finita quando q = 1

S(n) = n * a(1)

Condição para convergência da soma infinita de uma PG

A soma dos infinitos termos converge se e somente se o módulo da razão for estritamente menor que 1 (|q| < 1).

Fórmula da soma dos infinitos termos de uma PG (|q| < 1)

S = a(1) / (1 - q)

Fórmula do produto dos n primeiros termos de uma PG

|P(n)| = raiz quadrada de [(a(1) * a(n))^n]

Representação prática de 3 termos em PG

(x / q, x, x * q), facilitando produtos ao cancelar a razão q.

Representação prática de 4 termos em PG

(x / y^3, x / y, x * y, x * y^3), com razão igual a y^2.

Interpolação geométrica (inserir k meios geométricos)

Determinar a razão através da relação q = (b / a)^(1 / (k + 1)), inserindo k termos entre a e b.

Relação entre função exponencial e PG

Uma PG com termos positivos é a restrição discreta de uma função exponencial f(x) = c * b^x, onde a base b é a razão q.

Aplicação de logaritmo em termos de uma PG

Se uma sequência de termos estritamente positivos forma uma PG, o logaritmo desses termos forma uma PA.

Aplicação de PG: Dízima periódica simples (ex: 0,333...)

Pode ser expressa como a soma infinita de uma PG com primeiro termo a(1) = 3/10 e razão q = 1/10.

PA de segunda ordem

Sequência numérica cujas diferenças sucessivas entre termos formam uma progressão aritmética não nula.

Fórmula do termo geral de uma PA de segunda ordem

a(n) = A*n^2 + B*n + C, associada a uma função polinomial do 2º grau.

Notação de somatório (Sigma) para PA

A soma dos termos a(i) de i = 1 até n é denotada pela letra grega maiúscula Sigma: Somatório de i=1 até n de a(i).

Diferença entre PA e PG quanto ao crescimento

A PA cresce a uma taxa linear (aditiva), enquanto a PG (com q > 1) cresce a uma taxa exponencial (multiplicativa).

Cálculo da razão r conhecendo a(m) e a(n) em uma PA

r = [a(n) - a(m)] / (n - m)

Cálculo da razão q conhecendo a(m) e a(n) em uma PG

q^(n - m) = a(n) / a(m)

Juros simples como aplicação de progressões

O saldo ao longo dos períodos no regime de juros simples evolui segundo uma Progressão Aritmética de razão J = C * i.

Juros compostos como aplicação de progressões

O montante ao longo dos períodos no regime de juros compostos evolui segundo uma Progressão Geométrica de razão q = (1 + i).

Sequência harmônica e relação com a PA

Uma sequência de números não nulos é harmônica quando o inverso de cada um dos seus termos forma uma progressão aritmética.

Condição para uma sequência ser simultaneamente PA e PG

A sequência deve ser constante e não nula (PA com razão r = 0 e PG com razão q = 1).