Fundamentos da Matemática

Cartões · 55

Teorema de Pitágoras

Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos: a² = b² + c².

Fórmula de Bhaskara

Resolve equações quadráticas ax² + bx + c = 0. As raízes são dadas por x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a).

Discriminante (Delta)

Valor dado por Δ = b² - 4ac. Se Δ > 0, há duas raízes reais distintas; se Δ = 0, raízes reais iguais; se Δ < 0, raízes complexas.

Área do Círculo

Medida da superfície interna de uma circunferência: A = π * r², onde r representa o raio do círculo.

Comprimento da Circunferência

Perímetro da borda circular: C = 2 * π * r, onde r é o raio do círculo.

Área do Triângulo

Superfície delimitada por três lados: A = (base * altura) / 2.

Área do Trapézio

Superfície delimitada por duas bases paralelas e dois lados: A = ((B + b) * h) / 2.

Soma dos Ângulos Internos de um Triângulo

Em qualquer triângulo no plano euclidiano, a soma das medidas dos três ângulos internos é sempre igual a 180°.

Soma dos Ângulos Internos de um Polígono

Dada por S = (n - 2) * 180°, onde n representa o número de lados do polígono convexo.

Logaritmo: Definição

Se log_b(a) = c, então b^c = a, com a > 0, b > 0 e b ≠ 1. O logaritmo é o expoente que eleva a base b para obter a.

Logaritmo do Produto

Propriedade operacional: log_b(x * y) = log_b(x) + log_b(y). O logaritmo do produto é a soma dos logaritmos.

Logaritmo do Quociente

Propriedade operacional: log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y). O logaritmo da divisão é a diferença dos logaritmos.

Logaritmo da Potência

Propriedade operacional: log_b(x^k) = k * log_b(x). O expoente passa multiplicando o logaritmo.

Fórmula da Mudança de Base do Logaritmo

Permite converter bases: log_b(a) = log_c(a) / log_c(b), onde c é uma nova base positiva e diferente de 1.

Progressão Aritmética (PA): Termo Geral

Expressão dada por a_n = a_1 + (n - 1) * r, onde a_1 é o primeiro termo e r é a razão constante.

Progressão Aritmética (PA): Soma dos Termos

Soma dos n primeiros termos: S_n = ((a_1 + a_n) * n) / 2.

Progressão Geométrica (PG): Termo Geral

Expressão dada por a_n = a_1 * q^(n - 1), onde a_1 é o primeiro termo e q é a razão comum.

Progressão Geométrica (PG): Soma dos Termos Finitos

Soma dos n primeiros termos com q ≠ 1: S_n = a_1 * (q^n - 1) / (q - 1).

Progressão Geométrica (PG): Soma da Série Infinita

Válida quando o módulo da razão |q| < 1: S = a_1 / (1 - q).

Juros Simples

Cálculo linear de rendimento: J = C * i * t, onde C é capital, i é a taxa de juros e t é o tempo.

Juros Compostos (Montante)

Cálculo exponencial de capitalização acumulada: M = C * (1 + i)^t.

Volume da Esfera

Capacidade volumétrica delimitada por uma esfera: V = (4/3) * π * r³.

Área da Superfície da Esfera

Área da casca esférica externa: A = 4 * π * r².

Volume do Cilindro

Espaço ocupado por um cilindro reto: V = π * r² * h, sendo r o raio da base e h a altura.

Volume do Cone

Um terço do volume do cilindro de mesma base e altura: V = (1/3) * π * r² * h.

Volume da Pirâmide

Espaço ocupado por uma pirâmide regular: V = (Área da base * h) / 3.

Relação Fundamental da Trigonometria

Para qualquer arco x no círculo trigonométrico: sen²(x) + cos²(x) = 1.

Tangente de um Ângulo

Razão trigonométrica definida pela razão entre seno e cosseno: tg(x) = sen(x) / cos(x), com cos(x) ≠ 0.

Lei dos Senos

Em qualquer triângulo: a / sen(A) = b / sen(B) = c / sen(C) = 2R, onde R é o raio da circunferência circunscrita.

Lei dos Cossenos

Generalização do teorema de Pitágoras: a² = b² + c² - 2 * b * c * cos(A).

Distância entre Dois Pontos no Plano

Calculada pelo teorema de Pitágoras: d = √((x_2 - x_1)² + (y_2 - y_1)²).

Ponto Médio de um Segmento

Coordenadas médias entre dois pontos: M = ((x_1 + x_2) / 2, (y_1 + y_2) / 2).

Equação Reduzida da Reta

Representação linear y = m*x + b, onde m é o coeficiente angular (inclinação) e b é o coeficiente linear.

Coeficiente Angular da Reta

Taxa de variação entre dois pontos (x_1, y_1) e (x_2, y_2): m = (y_2 - y_1) / (x_2 - x_1).

Equação Fundamental da Reta

Equação do feixe de retas por um ponto fixo: y - y_0 = m * (x - x_0).

Equação Reduzida da Circunferência

Com centro em (a, b) e raio r: (x - a)² + (y - b)² = r².

Fatorial

Produto de todos os inteiros positivos até n: n! = n * (n - 1) * ... * 2 * 1, com 0! = 1 por definição.

Permutação Simples

Número de maneiras de ordenar n elementos distintos: P_n = n!.

Arranjo Simples

Agrupamentos ordenados de p elementos dentre n disponíveis: A(n, p) = n! / (n - p)!.

Combinação Simples

Subconjuntos de p elementos dentre n sem importar a ordem: C(n, p) = n! / (p! * (n - p)!).

Probabilidade Teórica Simples

Razão em espaços equiprováveis: P(A) = (Número de casos favoráveis) / (Número total de casos possíveis).

Probabilidade da União de Eventos

Para eventos A e B: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

Média Aritmética Simples

Soma de todos os n valores dividida pelo número total de elementos: x̄ = (∑ x_i) / n.

Média Ponderada

Soma dos produtos de cada valor pelo seu respectivo peso, dividida pela soma dos pesos: x̄ = (∑ x_i * w_i) / (∑ w_i).

Variância Amostral

Média dos desvios quadráticos em relação à média: s² = ∑(x_i - x̄)² / (n - 1).

Desvio Padrão

Medida de dispersão na mesma unidade dos dados: σ = √(Variância). Indica a dispersão em torno da média.

Vértice da Parábola

Coordenadas do ponto extremo de f(x) = ax² + bx + c: V = (-b / (2a), -Δ / (4a)).

Produto Notável: Quadrado da Soma

Identidade algébrica: (a + b)² = a² + 2ab + b².

Produto Notável: Quadrado da Diferença

Identidade algébrica: (a - b)² = a² - 2ab + b².

Produto Notável: Produto da Soma pela Diferença

Identidade algébrica de fatoração: (a + b)(a - b) = a² - b².

Propriedade das Potências: Produto de Mesma Base

Na multiplicação de potências de mesma base, repetem-se as bases e somam-se os expoentes: a^m * a^n = a^(m + n).

Propriedade das Potências: Divisão de Mesma Base

Na divisão de termos com bases iguais, subtraem-se os expoentes: a^m / a^n = a^(m - n), com a ≠ 0.

Relação de Euler para Poliedros Convexos

Relação topológica fundamental: V - A + F = 2, onde V é vértices, A é arestas e F é faces.

Definição de Derivada

Limite da taxa de variação instantânea: f'(x) = lim (h -> 0) [(f(x + h) - f(x)) / h].

Regra do Tombo (Derivada da Potência)

Regra prática de derivação: d/dx [x^n] = n * x^(n - 1).