Funções Matemáticas

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Função Matemática

Relação binária f de A em B onde cada elemento de A se associa a um único elemento em B. Notação: f: A -> B, y = f(x).

Domínio de uma Função

Conjunto de partida contendo todos os valores de entrada possíveis para os quais a função está definida. Notação: Dom(f) ou D(f).

Contradomínio

Conjunto de chegada que contém todos os valores potenciais de saída da função. Notação: CD(f) ou codom(f).

Conjunto Imagem

Subconjunto do contradomínio formado por todos os valores f(x) efetivamente assumidos pela função. Notação: Im(f) = {y em B | existe x em A com f(x) = y}.

Função Injetora

Função em que elementos distintos do domínio possuem imagens distintas no contradomínio: se x1 != x2, então f(x1) != f(x2).

Função Sobrejetora

Função cujo conjunto imagem é exatamente igual ao seu contradomínio: Im(f) = B; todo y em B possui pelo menos um x tal que f(x) = y.

Função Bijetora

Função que é simultaneamente injetora e sobrejetora, estabelecendo correspondência biunívoca perfeita entre domínio e contradomínio.

Função Constante

Função que assume o mesmo valor para qualquer elemento do domínio. Fórmula: f(x) = c, onde c pertence aos Reais.

Função Identidade

Função que associa cada elemento do domínio a si próprio. Fórmula: f(x) = x, com domínio e contradomínio no mesmo conjunto.

Função Afim (1º Grau)

Função polinomial de grau 1 cujo gráfico é uma reta inclinada. Fórmula: f(x) = ax + b, com a != 0 e a, b pertencentes aos Reais.

Função Linear

Caso particular da função afim cujo coeficiente linear é nulo, passando pela origem. Fórmula: f(x) = ax, com a != 0.

Função Quadrática (2º Grau)

Função polinomial cujo gráfico é uma parábola. Fórmula: f(x) = ax² + bx + c, com a != 0.

Vértice da Parábola

Ponto de máximo ou mínimo da função quadrática f(x) = ax² + bx + c. Coordenadas: V = (-b/(2a), -Delta/(4a)), onde Delta = b² - 4ac.

Função Polinomial Cúbica

Função polinomial de 3º grau com até três raízes reais. Fórmula geral: f(x) = ax³ + bx² + cx + d, com a != 0.

Função Par

Função simétrica em relação ao eixo vertical (y). Definição: f(-x) = f(x) para todo x pertencente ao domínio.

Função Ímpar

Função simétrica em relação à origem do sistema cartesiano. Definição: f(-x) = -f(x) para todo x pertencente ao domínio.

Função Periódica

Função cujos valores se repetem em intervalos regulares de comprimento T. Definição: f(x + T) = f(x) para todo x, onde T > 0 é o período.

Função Composta

Aplicação sucessiva de duas funções f e g. Notação: (g o f)(x) = g(f(x)), definida quando a imagem de f está contida no domínio de g.

Função Inversa

Função que desfaz a ação de uma bijeção f. Notação: f⁻¹(x) = y se e somente se f(y) = x, cumprindo f(f⁻¹(x)) = x e f⁻¹(f(x)) = x.

Função Modular

Função que retorna o valor absoluto ou magnitude de um número real. Fórmula: f(x) = |x|, sendo f(x) = x se x >= 0 e f(x) = -x se x < 0.

Função Exponencial

Função em que a variável independente está no expoente. Fórmula: f(x) = aˣ, com base a > 0 e a != 1.

Função Exponencial Natural

Função exponencial cuja base é a constante de Euler (e ≈ 2,71828). Fórmula: f(x) = eˣ ou exp(x).

Função Logarítmica

Função inversa da exponencial que fornece o expoente necessário para atingir x. Fórmula: f(x) = log_a(x), com x > 0, a > 0 e a != 1.

Função Logaritmo Natural

Logaritmo cuja base é o número de Euler e. Notação: f(x) = ln(x), sendo o inverso exato da função eˣ para x > 0.

Função Seno

Função trigonométrica periódica associada à ordenada no ciclo trigonométrico. Fórmula: f(x) = sen(x), com imagem [-1, 1] e período 2pi.

Função Cosseno

Função trigonométrica associada à abscissa no círculo trigonométrico. Fórmula: f(x) = cos(x), com imagem [-1, 1] e período 2pi.

Função Tangente

Razão trigonométrica entre seno e cosseno. Fórmula: f(x) = tan(x) = sen(x)/cos(x), com assíntotas verticais em x = pi/2 + k*pi (k inteiro).

Função Cotangente

Inverso multiplicativo da tangente. Fórmula: f(x) = cot(x) = cos(x)/sen(x), indefinida para x = k*pi (k inteiro).

Função Secante

Inverso multiplicativo do cosseno. Fórmula: f(x) = sec(x) = 1/cos(x), definida para todos os reais exceto x = pi/2 + k*pi.

Função Cossecante

Inverso multiplicativo do seno. Fórmula: f(x) = csc(x) = 1/sen(x), definida para todos os reais exceto x = k*pi.

Função Arco Seno

Função inversa do seno restrito ao intervalo [-pi/2, pi/2]. Notação: f(x) = arcsen(x), com domínio [-1, 1] e imagem [-pi/2, pi/2].

Função Arco Cosseno

Função inversa do cosseno restrito ao intervalo [0, pi]. Notação: f(x) = arccos(x), com domínio [-1, 1] e imagem [0, pi].

Função Arco Tangente

Função inversa da tangente restrita ao intervalo (-pi/2, pi/2). Notação: f(x) = arctan(x), domínio Real e imagem (-pi/2, pi/2).

Função Racional

Função expressa como o quociente de dois polinômios. Fórmula: f(x) = P(x)/Q(x), com Q(x) != 0.

Função Recíproca

Caso básico de função racional cujo gráfico é uma hipérbole equilátera. Fórmula: f(x) = 1/x, com domínio em todos os Reais exceto x = 0.

Função Raiz Quadrada

Função que extrai a raiz de índice 2 de valores não negativos. Fórmula: f(x) = raiz(x), com domínio [0, +infinito) e imagem [0, +infinito).

Função Potência

Função onde a base é a variável e o expoente é um número real fixo r. Fórmula: f(x) = xʳ.

Função Homográfica

Função racional formada pela razão de dois polinômios de grau 1. Fórmula: f(x) = (ax + b)/(cx + d), com c != 0 e ad - bc != 0.

Função Crescente

Função que preserva a ordem dos elementos: se x1 < x2, então f(x1) <= f(x2) (estritamente crescente se f(x1) < f(x2)).

Função Decrescente

Função que inverte a ordem dos elementos: se x1 < x2, então f(x1) >= f(x2) (estritamente decrescente se f(x1) > f(x2)).

Função Monótona

Função que se mantém exclusivamente não decrescente ou não crescente ao longo de todo o seu domínio.

Função Limitada

Função cuja imagem está contida em um intervalo fechado [m, M]: existem m e M reais tais que m <= f(x) <= M para todo x.

Função Definida por Partes

Função cuja expressão analítica varia dependendo do subintervalo do domínio em que a variável x se encontra.

Função Degrau de Heaviside

Função descontínua usada para modelar ativação. Fórmula: H(x) = 0 para x < 0 e H(x) = 1 para x >= 0.

Função Sinal (Signum)

Função que extrai o sinal algébrico de um número real. Fórmula: sgn(x) = -1 se x < 0, 0 se x = 0, e 1 se x > 0.

Função Piso (Maior Inteiro)

Função que retorna o maior inteiro menor ou igual a x. Notação: f(x) = piso(x) ou floor(x) = max{n em Z | n <= x}.

Função Teto (Menor Inteiro)

Função que retorna o menor inteiro maior ou igual a x. Notação: f(x) = teto(x) ou ceil(x) = min{n em Z | n >= x}.

Função Seno Hiperbólico

Combinação de exponenciais simétricas análoga ao seno circular. Fórmula: sinh(x) = (eˣ - e⁻ˣ)/2.

Função Cosseno Hiperbólico

Combinação de exponenciais que descreve a curva da catenária. Fórmula: cosh(x) = (eˣ + e⁻ˣ)/2.

Função Tangente Hiperbólica

Razão entre seno e cosseno hiperbólicos. Fórmula: tanh(x) = sinh(x)/cosh(x) = (eˣ - e⁻ˣ)/(eˣ + e⁻ˣ).

Função Gama

Extensão do fatorial para números complexos e reais contínuos. Notação: Gamma(z) = integral de 0 a infinito de (t^(z-1) * e^(-t)) dt, satisfazendo Gamma(n) = (n-1)!.

Função Logística (Sigmóide)

Função suave em forma de 'S' com contradomínio restrito a (0, 1). Fórmula: f(x) = 1/(1 + e^(-x)).