Funções Matemáticas

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Função Constante

f(x) = c (com c real). O valor da saída não se altera com x. O gráfico é uma reta horizontal com coeficiente angular zero.

Função Identidade

f(x) = x. Mapeia cada elemento diretamente nele mesmo. O gráfico é a bissetriz dos quadrantes ímpares com inclinação de 45 graus.

Função Linear

f(x) = ax (com a diferente de 0). Caso especial da afim sem termo independente. O gráfico é uma reta que passa pela origem (0,0).

Função Afim (1º Grau)

f(x) = ax + b. Reta oblíqua onde 'a' é o coeficiente angular e 'b' o coeficiente linear (intercepto y). Raiz única dada por x = -b/a.

Função Quadrática (2º Grau)

f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0). Gráfico em parábola com vértice em (-b/2a, -Δ/4a). Se a > 0, tem concavidade voltada para cima.

Função Polinomial Cúbica (3º Grau)

f(x) = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0). Possui no mínimo uma e no máximo três raízes reais. Apresenta ponto de inflexão central.

Função Polinomial Geral

f(x) = an xⁿ + ... + a1 x + a0. Domínio real ilimitado; contínua e infinitamente diferenciável. Grau n determina o número máximo de raízes.

Função Modular (Valor Absoluto)

f(x) = |x| (x se x ≥ 0; -x se x < 0). Sempre não-negativa; o gráfico tem forma de 'V' com bico agudo não-diferenciável na origem.

Função Raiz Quadrada

f(x) = √x. Domínio e imagem restritos aos reais não-negativos ([0, +∞)). Monótona estritamente crescente e côncava para baixo.

Função Raiz Cúbica

f(x) = ∛x. Definida em todos os reais (ℝ), com imagem em ℝ. Função ímpar, crescente, com reta tangente vertical na origem.

Função Potência

f(x) = xᵃ (onde 'a' é constante real). O comportamento assintótico, paridade e domínio dependem da natureza par, ímpar ou fracionária de 'a'.

Função Racional

f(x) = P(x) / Q(x), onde P e Q são polinômios e Q(x) ≠ 0. Apresenta descontinuidades nas raízes de Q(x), gerando assíntotas verticais.

Função Recíproca (Inversa)

f(x) = 1/x. Domínio ℝ*. O gráfico é uma hipérbole equilátera com assíntotas sobre os eixos cartesianos; é uma função ímpar.

Função Exponencial

f(x) = aˣ (a > 0 e a ≠ 1). Crescente para a > 1 e decrescente para 0 < a < 1. Imagem em (0, +∞); corta o eixo y em (0, 1).

Função Exponencial Natural

f(x) = eˣ (onde e ≈ 2,718). É a sua própria derivada e integral. Crescimento ilimitado para valores positivos e assíntota horizontal em y = 0.

Função Logarítmica

f(x) = logₐ(x) (a > 0, a ≠ 1). Inversa da exponencial; domínio x > 0. Corta o eixo x em (1, 0) e tem assíntota vertical em x = 0.

Função Logaritmo Natural

f(x) = ln(x) (base e). Derivada f'(x) = 1/x. Cresce estritamente para x > 0 e tem concavidade voltada para baixo.

Função Seno

f(x) = sen(x). Função periódica de período 2π e imagem [-1, 1]. É ímpar (sen(-x) = -sen(x)) e derivável em toda a reta real.

Função Cosseno

f(x) = cos(x). Periódica com período 2π e imagem [-1, 1]. É par (cos(-x) = cos(x)), desfasada de π/2 em relação ao seno.

Função Tangente

f(x) = tan(x) = sen(x)/cos(x). Período π, domínio {x ∈ ℝ | x ≠ π/2 + kπ}. Imagem em ℝ; possui infinitas assíntotas verticais.

Função Cossecante

f(x) = csc(x) = 1/sen(x). Indefinida nos múltiplos de π (kπ). Imagem em (-∞, -1] ∪ [1, +∞); período 2π.

Função Secante

f(x) = sec(x) = 1/cos(x). Indefinida onde cos(x) = 0 (x = π/2 + kπ). Período 2π, par, com imagem (-∞, -1] ∪ [1, +∞).

Função Cotangente

f(x) = cot(x) = cos(x)/sen(x). Período π, domínio x ≠ kπ. Estritamente decrescente em cada ramo contínuo, com imagem ℝ.

Função Arco Seno

f(x) = arcsen(x). Inversa do seno restrito a [-π/2, π/2]. Domínio [-1, 1] e imagem [-π/2, π/2]; função ímpar e crescente.

Função Arco Cosseno

f(x) = arccos(x). Inversa do cosseno restrito a [0, π]. Domínio [-1, 1] e imagem [0, π]; estritamente decrescente.

Função Arco Tangente

f(x) = arctan(x). Inversa da tangente no intervalo aberto (-π/2, π/2). Domínio ℝ e imagem (-π/2, π/2); assíntotas horizontais em y = ±π/2.

Função Seno Hiperbólico

f(x) = sinh(x) = (eˣ - e⁻ˣ)/2. Função ímpar com domínio e imagem em ℝ. Estritamente crescente, com derivada igual a cosh(x).

Função Cosseno Hiperbólico

f(x) = cosh(x) = (eˣ + e⁻ˣ)/2. Função par; forma a curva catenária. Domínio ℝ e imagem [1, +∞). Relação: cosh²(x) - sinh²(x) = 1.

Função Tangente Hiperbólica

f(x) = tanh(x) = sinh(x)/cosh(x). Função ímpar com imagem (-1, 1). Monótona crescente com assíntotas horizontais em y = ±1.

Função Arco Seno Hiperbólico

f(x) = arsinh(x) = ln(x + √(x² + 1)). Inversa do seno hiperbólico. Domínio e imagem reais; diferenciável em todo ℝ.

Função Arco Cosseno Hiperbólico

f(x) = arcosh(x) = ln(x + √(x² - 1)). Inversa do cosh restrito a [0, +∞). Domínio [1, +∞) e imagem [0, +∞).

Função Arco Tangente Hiperbólica

f(x) = artanh(x) = (1/2) ln((1 + x)/(1 - x)). Domínio (-1, 1) e imagem ℝ. Inversa de tanh(x), com assíntotas verticais em x = ±1.

Função Piso (Maior Inteiro)

f(x) = ⌊x⌋. Retorna o maior inteiro menor ou igual a x. Função em escada, descontínua em cada valor inteiro.

Função Teto (Menor Inteiro)

f(x) = ⌈x⌉. Retorna o menor inteiro maior ou igual a x. Apresenta descontinuidades de salto em todos os inteiros.

Função Parte Fracionária

f(x) = {x} = x - ⌊x⌋. Periódica com período 1. Imagem no intervalo semiaberto [0, 1), com formato dente-de-serra.

Função Sinal (Signum)

sgn(x) = 1 se x > 0; 0 se x = 0; -1 se x < 0. Função ímpar em degrau, descontínua na origem.

Função Degrau de Heaviside

H(x) = 0 se x < 0; 1 se x ≥ 0 (ou 1/2 em 0). Utilizada em modelagem de chaves e sistemas dinâmicos; sua derivada distribucional é a delta.

Função Logística (Sigmoide)

f(x) = 1 / (1 + e⁻ˣ). Curva em 'S' com imagem (0, 1). Monótona crescente com f'(x) = f(x)(1 - f(x)); comum em redes neurais.

Função Gaussiana

f(x) = a * exp(-(x - b)² / (2c²)). Curva em sino simétrica em torno da média b. Integral sobre a reta inteira é finita.

Função Gama

Γ(z) = ∫₀^∞ t^(z-1) e⁻ᵗ dt. Extensão contínua do fatorial para números complexos/reais: Γ(n) = (n-1)! para n inteiro positivo.

Função Beta

B(x, y) = ∫₀¹ t^(x-1) (1 - t)^(y-1) dt. Relaciona-se com a função Gama por B(x, y) = [Γ(x)Γ(y)] / Γ(x + y); simétrica em x e y.

Função Erro (erf)

erf(x) = (2/√π) ∫₀ˣ e^(-t²) dt. Função ímpar com assíntotas horizontais em ±1. Crucial no cálculo de probabilidades normais.

Função Zeta de Riemann

ζ(s) = ∑ (1/nˢ) para Re(s) > 1. Função meromorfa central na teoria dos números analítica, ligada à distribuição dos números primos.

Função Delta de Dirac

δ(x) = 0 para x ≠ 0 e ∫ δ(x) dx = 1. Rigorosamente uma distribuição; modela impulsos pontuais instantâneos.

Função Indicadora (Característica)

1_A(x) = 1 se x ∈ A; 0 se x ∉ A. Mapeia a pertinência de um elemento a um subconjunto no universo.

Função de Dirichlet

f(x) = 1 se x ∈ ℚ; 0 se x ∉ ℚ. Função em lugar nenhum contínua e não integrável no sentido de Riemann.

Função Sinc

sinc(x) = sen(x)/x (normalizada para 1 em x = 0). Apresenta oscilação amortecida; amplamente empregada no processamento de sinais.

Função W de Lambert

W(x) tal que W(x) e^(W(x)) = x. Função multivalorada usada para resolver equações exponenciais transcendentes.

Função Exponencial Integral (Ei)

Ei(x) = -∫₋ₓ^∞ (e⁻ᵗ / t) dt. Função especial usada em problemas de transferência radiativa e teoria dos números.

Função de Bessel

Soluções de x²y'' + xy' + (x² - α²)y = 0. Funções cilíndricas essenciais em problemas com simetria circular ou cilíndrica.

Função Hipergeométrica

F(a, b; c; z) = ∑ [(a)ₙ (b)ₙ / (c)ₙ] (zⁿ / n!). Solução da equação hipergeométrica que generaliza quase todas as funções elementares.

Função Toomae

f(x) = 1/q se x = p/q (fração irredutível); f(0)=1; f(x)=0 se irracional. Contínua em todos os irracionais e descontínua nos racionais.