Funções Matemáticas

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Definição de Função

Em um táxi com tarifa fixa de 5 reais mais 2 reais por km: f(x) = 2x + 5. Para 10 km rodados, calcula-se f(10) = 2(10) + 5 = 25 reais.

Domínio de uma Função

Para f(x) = 1/(x - 3), o denominador não pode ser zero: x - 3 diferente de 0 implica x diferente de 3. Logo, o domínio são todos os reais exceto 3.

Contradomínio e Imagem

Para f: R em R com f(x) = x ao quadrado: o contradomínio é R, mas a imagem são apenas reais não negativos [0, infinito), pois todo quadrado é maior ou igual a zero.

Zero ou Raiz da Função

Para f(x) = 3x - 12, faz-se f(x) = 0: 3x - 12 = 0 implica 3x = 12, resultando em x = 4. A raiz da função é 4.

Função Afim (1º Grau)

Custo de produzir camisetas: C(x) = 15x + 200. Para 50 camisetas: C(50) = 15(50) + 200 = 750 + 200 = 950 reais.

Coeficiente Angular da Reta

Reta passando por (1, 3) e (3, 7): taxa de variação m = (7 - 3) / (3 - 1) = 4 / 2 = 2. A cada unidade que x cresce, y aumenta 2.

Coeficiente Linear da Reta

Na equação y = -3x + 8, o coeficiente linear é 8. Representa o ponto onde a reta cruza o eixo Y, ou seja, no ponto (0, 8).

Função Constante

Plano de internet fixa que custa 80 reais independente do uso: f(x) = 80. O gráfico é uma reta horizontal cruzando o eixo Y em 80.

Função Linear

Preço da gasolina a 6 reais por litro: f(x) = 6x. Como não há taxa fixa, passa pela origem (0, 0); 5 litros custam f(5) = 30 reais.

Função Identidade

f(x) = x. Cada valor de entrada resulta exatamente em si mesmo: f(7) = 7, f(-2) = -2. O gráfico é a bissetriz dos quadrantes ímpares.

Função Crescente

Para f(x) = 4x - 1, se x1 = 2 e x2 = 5, f(2) = 7 e f(5) = 19. Como x2 > x1 resulta em f(x2) > f(x1), a função é estritamente crescente.

Função Decrescente

Vazamento de água: volume V(t) = 100 - 5t. Para t = 2, V = 90; para t = 4, V = 80. Com o aumento do tempo t, o volume restante diminui.

Função Quadrática (2º Grau)

Lançamento de projétil h(t) = -5t ao quadrado + 20t. Para t = 1 segundo, a altura atingida é h(1) = -5(1) + 20(1) = 15 metros.

Vértice da Parábola (Máximo)

Lucro L(x) = -2x ao quadrado + 80x. O x do vértice é -b/(2a) = -80/(2 * -2) = 20. O lucro máximo ocorre vendendo 20 unidades.

Vértice da Parábola (Mínimo)

Custo C(x) = x ao quadrado - 10x + 35. O y do vértice é -delta/(4a) = -(100 - 140)/(4 * 1) = 40/4 = 10. O custo mínimo possível é 10.

Concavidade da Parábola

Em f(x) = 3x ao quadrado - 6x + 1, o coeficiente a = 3 é positivo, logo a concavidade é voltada para cima, gerando ponto de mínimo.

Discriminante (Delta) na Função Quadrática

Para f(x) = x ao quadrado - 4x + 4: delta = (-4) ao quadrado - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0. Indica que a parábola toca o eixo X em uma única raiz.

Função Exponencial

Cultura bacteriana que dobra a cada hora: P(t) = 100 * 2 elevado a t. Após 3 horas, a população será P(3) = 100 * 8 = 800 bactérias.

Decaimento Exponencial

Substância radioativa: M(t) = 50 * (1/2) elevado a t. Após 2 períodos de meia-vida, a massa restante é M(2) = 50 * 1/4 = 12,5 g.

Função Logarítmica

Escala de pH: pH = -log[H+]. Se a concentração de íons de hidrogênio é 10 elevado a -3, calcula-se pH = -log(10 elevado a -3) = -(-3) = 3.

Inversa da Função Exponencial

Resolver 2 elevado a x = 16: aplica-se a função logarítmica de base 2 em ambos os lados, obtendo x = log2(16) = 4.

Função Modular

Distância de x ao ponto 3: f(x) = |x - 3|. Para x = 1, calcula-se f(1) = |1 - 3| = |-2| = 2 unidades de distância.

Equação com Função Modular

Resolver |2x - 4| = 6: divide-se em 2x - 4 = 6 (2x = 10 implica x = 5) e 2x - 4 = -6 (2x = -2 implica x = -1). Soluções: x = 5 e x = -1.

Função Composta

Se f(x) = 2x + 1 e g(x) = x ao quadrado: f(g(3)) calcula-se fazendo primeiro g(3) = 9, e depois aplicando f(9) = 2(9) + 1 = 19.

Composição de Funções Invertida

Se f(x) = x + 4 e g(x) = 3x: g(f(x)) = 3(x + 4) = 3x + 12. Mostra que em geral f(g(x)) é diferente de g(f(x)).

Função Inversa

Achar a inversa de f(x) = 2x + 6: troca-se as variáveis x = 2y + 6, isola-se y: 2y = x - 6, logo f inversa(x) = (x - 6)/2.

Condição para Invertibilidade

A função f(x) = x ao quadrado com domínio R não tem inversa pois f(2) = f(-2) = 4; restringindo o domínio para [0, infinito), a inversa é raiz de x.

Função Injetora

f(x) = 3x + 5: se f(a) = f(b), então 3a + 5 = 3b + 5 implica 3a = 3b, portanto a = b. Elementos distintos sempre geram imagens distintas.

Função Sobrejetora

f: R em R dada por f(x) = 2x - 1: para qualquer y real, existe x = (y + 1)/2 tal que f(x) = y. A imagem é igual ao contradomínio.

Função Bijetora

f: R em R dada por f(x) = 5x - 2 é injetora e sobrejetora simultaneamente, garantindo a existência de sua função inversa em todo R.

Função Par

Para f(x) = x ao quadrado + 4: testando f(-x) = (-x) ao quadrado + 4 = x ao quadrado + 4 = f(x). O gráfico é simétrico em relação ao eixo Y.

Função Ímpar

Para f(x) = x ao cubo: testando f(-x) = (-x) ao cubo = -x ao cubo = -f(x). O gráfico é simétrico em relação à origem das coordenadas.

Função Seno

Ondas sonoras modeladas por y = sen(x). Para x = pi/2 radianos, o valor da amplitude é y = sen(pi/2) = 1, atingindo sua crista máxima.

Período da Função Seno

Para f(x) = sen(2x), o período T é calculado por 2pi / |b| = 2pi / 2 = pi radianos. A onda completa um ciclo a cada pi unidades.

Função Cosseno

Movimento oscilatório y = 4 * cos(x). Na posição inicial t = 0, y = 4 * cos(0) = 4 * 1 = 4 metros da posição de repouso.

Função Tangente

Cálculo de altura predial: h = d * tg(theta). A 10 m de distância com ângulo de 45 graus, h = 10 * tg(45 graus) = 10 * 1 = 10 metros.

Domínio da Função Tangente

Como tg(x) = sen(x)/cos(x), cos(x) não pode ser zero. Portanto, x deve ser diferente de pi/2 + k*pi para qualquer k inteiro.

Função Racional

Tempo de viagem t(v) = 120 / v para percorrer 120 km. Se a velocidade média for 60 km/h, o tempo de percurso é t(60) = 120 / 60 = 2 horas.

Assíntota Vertical

Para f(x) = 2 / (x - 4), à medida que x se aproxima de 4 pela direita, f(x) tende ao infinito positivo. A reta x = 4 é assíntota vertical.

Assíntota Horizontal

Para f(x) = (3x + 1) / (x - 2), dividindo numerador e denominador por x quando x tende ao infinito, obtém-se limite 3. A reta y = 3 é a assíntota.

Função Definida por Partes

Imposto de renda: f(x) = 0 se x <= 2000, e f(x) = 0,15*(x - 2000) se x > 2000. Para renda de 3000 reais: f(3000) = 0,15 * 1000 = 150 reais.

Função Maior Inteiro (Piso)

Tarifa de estacionamento cobrada por hora cheia iniciada: f(x) = piso(x). Para um tempo de 2,3 horas, piso(2,3) = 2 horas completas.

Translação Vertical de Funções

Dada f(x) = x ao quadrado, g(x) = x ao quadrado + 3 desloca todo o gráfico original 3 unidades para cima ao longo do eixo vertical Y.

Translação Horizontal de Funções

Dada f(x) = x ao quadrado, g(x) = (x - 2) ao quadrado desloca a parábola original 2 unidades para a direita, tendo vértice no ponto (2, 0).

Reflexão de Funções

Se f(x) = raiz quadrada de x, g(x) = -raiz quadrada de x reflete o gráfico verticalmente em torno do eixo X para valores negativos.

Intersecção entre Duas Funções

Igualar f(x) = 2x + 1 e g(x) = -x + 4: 2x + 1 = -x + 4 resulta em 3x = 3, logo x = 1. O ponto de encontro no plano é (1, 3).

Inequação do 1º Grau com Funções

Para quais valores f(x) = 3x - 9 é positiva: resolve-se 3x - 9 > 0, resultando em 3x > 9 e x > 3. A função fica acima do eixo X para x > 3.

Estudo do Sinal da Função Quadrática

Para f(x) = x ao quadrado - 5x + 6: raízes em 2 e 3 com concavidade para cima. f(x) < 0 no intervalo aberto entre as raízes (2, 3).

Função Potência

Volume de um cubo em relação à aresta: V(x) = x ao cubo. Se a aresta mede 4 cm, o volume calculado é V(4) = 4 ao cubo = 64 cm cúbicos.

Função Raiz Quadrada

Velocidade de queda livre v(h) = raiz(2 * 9,8 * h). Para queda de 20 metros: v = raiz(392) que resulta em aproximadamente 19,8 m/s.

Taxa Média de Variação

Para f(x) = x ao quadrado de x = 1 a x = 3: variação média = [f(3) - f(1)] / (3 - 1) = (9 - 1) / 2 = 8 / 2 = 4.

Função Custo Total, Receita e Lucro

Custo C(x) = 50 + 2x, Receita R(x) = 7x. O ponto de equilíbrio (lucro zero) é 7x = 50 + 2x, logo 5x = 50, exigindo a venda de 10 unidades.