Matemática para o Enem

Cartões · 57

Média Aritmética Simples

Soma de todos os valores dividida pela quantidade total de elementos: M = (x1 + x2 + ... + xn) / n.

Média Ponderada

Soma dos produtos de cada valor pelo seu respectivo peso, dividida pela soma dos pesos: Mp = (x1*p1 + ... + xn*pn) / (p1 + ... + pn).

Mediana (número ímpar de termos)

Após ordenar os dados em rol (crescente ou decrescente), a mediana é exatamente o termo central.

Mediana (número par de termos)

Após ordenar em rol, a mediana é a média aritmética simples dos dois termos centrais.

Moda estatística

É o valor que mais se repete no conjunto de dados. Pode haver mais de uma moda (bimodal) ou nenhuma (amodal).

Pegadinha clássica da Mediana

Nunca calcule a mediana antes de colocar os valores em ordem crescente ou decrescente (rol).

Escala Numérica (Fórmula)

Escala = D_desenho / D_real. Ambas as medidas devem obrigatoriamente estar na mesma unidade de comprimento.

Escala de Área e Volume

Se a escala linear é E, a razão entre áreas é E ao quadrado e entre volumes é E ao cubo.

Conversão de m³ para Litros

1 metro cúbico equivale a exatamente 1.000 litros. Já 1 decímetro cúbico equivale a 1 litro.

Conversão de cm³ para mL e Litros

1 centímetro cúbico (cm³) equivale a 1 mililitro (mL). Logo, 1.000 cm³ equivalem a 1 litro.

Aumento percentual de x%

Multiplica-se o valor inicial pelo fator de correção (1 + x/100). Exemplo: aumento de 20% usa fator 1,20.

Desconto percentual de x%

Multiplica-se o valor inicial pelo fator de redução (1 - x/100). Exemplo: desconto de 15% usa fator 0,85.

Pegadinha de aumentos e descontos sucessivos

Nunca some as porcentagens. Um aumento de 10% seguido de desconto de 10% resulta em 1,1 * 0,9 = 0,99 (queda final de 1%).

Juros Simples (Fórmula)

J = C * i * t, onde C é o capital, i é a taxa de juros e t é o tempo. Montante M = C + J.

Juros Compostos (Fórmula)

M = C * (1 + i)^t, onde o expoente t representa a quantidade de períodos de aplicação da taxa i.

Unidade de taxa e tempo na matemática financeira

A taxa (i) e o tempo (t) devem sempre se referir à mesma unidade temporal (ambos ao mês ou ambos ao ano).

Área do Triângulo Qualquer (Base e Altura)

A = (base * altura) / 2.

Área do Triângulo Equilátero

A = (lado² * raiz(3)) / 4. Sua altura h mede (lado * raiz(3)) / 2.

Área do Círculo e Comprimento da Circunferência

Área = pi * r². Comprimento (perímetro) = 2 * pi * r. Cuidado para não trocar raio por diâmetro.

Área do Trapézio

A = ((Base maior + Base menor) * altura) / 2.

Área do Losango

A = (Diagonal maior * Diagonal menor) / 2.

Volume do Cilindro

V = pi * r² * h (área da base vezes a altura).

Volume do Cone

V = (1/3) * pi * r² * h (um terço do volume do cilindro de mesma base e altura).

Volume da Pirâmide

V = (1/3) * Área_da_base * h.

Volume da Esfera

V = (4/3) * pi * r³. A área superficial da esfera é dada por A = 4 * pi * r².

Volume do Prisma Reto

V = Área_da_base * h.

Teorema de Pitágoras

a² = b² + c², onde 'a' é a hipotenusa (oposta ao ângulo reto) e 'b', 'c' são os catetos.

Triângulos Pitagóricos Frequentes

Triângulos de lados proporcionais a 3-4-5 e a 5-12-13 poupam tempo precioso em contas no Enem.

Seno, Cosseno e Tangente no triângulo retângulo

sen = cateto oposto/hipotenusa; cos = cateto adjacente/hipotenusa; tan = cateto oposto/cateto adjacente.

Teorema Fundamental da Trigonometria

sen²(x) + cos²(x) = 1 para qualquer arco x real.

Lei dos Senos

a / sen(A) = b / sen(B) = c / sen(C) = 2R, onde R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.

Lei dos Cossenos

a² = b² + c² - 2*b*c*cos(A). Usada quando se conhecem dois lados e o ângulo compreendido entre eles.

Vértice da Parábola (Coordenadas)

Xv = -b / (2a) e Yv = -Delta / (4a). Yv também pode ser obtido aplicando Xv diretamente na função f(Xv).

Pegadinha do Vértice: Ponto Máximo vs Valor Máximo

Quando a questão pede 'quanto produzir para lucrar o máximo', pede-se Xv; se pede 'qual o lucro máximo', pede-se Yv.

Concavidade da Função Quadrática

Se a > 0, concavidade para cima (ponto mínimo); se a < 0, concavidade para baixo (ponto máximo).

Raízes por Soma e Produto (Equação do 2º grau)

S = x1 + x2 = -b/a; P = x1 * x2 = c/a.

Coeficiente Angular da Reta (m)

m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = tan(theta). Representa a taxa de variação ou inclinação da reta.

Equação Fundamental da Reta

y - y0 = m * (x - x0), útil para achar a reta conhecendo um ponto (x0, y0) e o coeficiente m.

Distância entre dois pontos no plano cartesiano

d = raiz((x2 - x1)² + (y2 - y1)²). Aplicação direta do Teorema de Pitágoras no plano.

Probabilidade Básica

P = Casos Favoráveis / Casos Possíveis. O resultado varia de 0 (impossível) a 1 (100% de certeza).

Probabilidade da União de Eventos

P(A união B) = P(A) + P(B) - P(A intersecção B). A intersecção é subtraída para não ser contada duas vezes.

Probabilidade do Evento Complementar

P(não A) = 1 - P(A). Muito útil em questões com a expressão 'ao menos um' ou 'pelo menos um'.

Probabilidade Condicional

P(A dado B) = P(A intersecção B) / P(B). Reduz-se o espaço amostral original ao universo de B.

Princípio Fundamental da Contagem (PFC)

Se uma decisão pode ser tomada de m modos e outra de n modos independentes, há m * n maneiras de tomá-las juntas.

Diferença entre Arranjo e Combinação

A ordem dos elementos importa? Se sim (como senhas, pódios), usa-se Arranjo. Se não importa (como comissões, grupos), Combinação.

Fórmula da Combinação Simples

C(n, p) = n! / (p! * (n - p)!). Modos de escolher p elementos entre n disponíveis sem importar a ordem.

Permutação Simples e com Repetição

Simples: Pn = n!. Com elementos repetidos alfa e beta vezes: Pn = n! / (alfa! * beta!).

Termo Geral da P.A. (Progressão Aritmética)

an = a1 + (n - 1) * r, onde r é a razão constante somada a cada novo termo.

Soma dos Termos de uma P.A. Finita

Sn = ((a1 + an) * n) / 2.

Termo Geral da P.G. (Progressão Geométrica)

an = a1 * q^(n - 1), onde q é a razão multiplicada termo a termo.

Soma da P.G. Infinita Convergente (|q| < 1)

S = a1 / (1 - q). Válida exclusivamente quando o módulo da razão q for estritamente menor que 1.

Propriedade dos Logaritmos: Produto e Quociente

log(a * b) = log(a) + log(b) e log(a / b) = log(a) - log(b). Bases devem ser iguais.

Propriedade dos Logaritmos: Potência ('Regra do Tombo')

log(a^k) = k * log(a). O expoente do logaritmando cai multiplicando o logaritmo.

Mudança de Base nos Logaritmos

log_b(a) = log_c(a) / log_c(b). Escolhe-se a base conveniente c (geralmente base 10).

Grandezas Diretamente Proporcionais

Aumentando uma, a outra aumenta na mesma proporção: y / x = k (constante). O gráfico é uma reta que passa pela origem.

Grandezas Inversamente Proporcionais

Aumentando uma, a outra diminui proporcionalmente: x * y = k (constante). O gráfico característico é uma hipérbole.

Pegadinha de Unidade de Velocidade (km/h vs m/s)

Para passar de km/h para m/s, divide-se por 3,6. Para passar de m/s para km/h, multiplica-se por 3,6.